Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
-I. I 0 - ias (t ) .71- 2 со (t) - 1 1 .I.
(5.9.11)
Имеем
Система (5.9.11) является /.-диагональной, причем выполнено свойство А:
Re [A, (t) - 12 (*)] = Re [2/со (<)] =0.
Q(t) ш (t)
dt
Vp (t)
\ P V)
Pit) 2p (t)
§ 9] ПРИВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ К i-ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
Так как р (t) 0, то
357
|""(0
"(О
dt-.
2с
dt < оо.
Следовательно, для фундаментальной матрицы системы (5.9.11) справедлива
асимптотическая формула
ехр [" $ (o(^)rf^] + e,(0
Л)
Ез (t)
4(t)
t
exp [-< J ш (t,) dtx\ +MO >0
где zj(t)-t 0 (/=1, 2, 3, 4) при t -* со.
Возвращаясь к прежним переменным х и у и учитывая ограниченность функции
"(t), для системы (5.9.9) получим фундаментальную матрицу
¦ (со (t)
tco (t)
t
exp [t $ CO (t^ dtl] + it (t)
(0 =
s
to
ico (^exp [t j со (t,) dtx\+l3 (t)
y(t)~ С Полагая
exp [-i$ co(^)^,] + s2 (t)
h
t
- rco (Oexp [- ( J CO (t)
id
f - CO.
г 1 1 -l
"2 2i
*(0 1 1
- 2 2i-
получим фундаментальную матрицу вида
x(t)--
cos j со (tL) dti + r), (^)
sin $ а (г1!) dti + Ъ <()
¦ CO (t) sin $ со (ti) dti -f-1)3 (г1) со (t) cos со (tt) dt, + r)4 (t)
10 /0
где r]j(t)-*0 (7=1, 2, 3, 4) при t-> оо, причем в силу первого из
уравнений (0.9.9) имеем
Ъ (0 = ii(0 и yit(t)=i2(t).
Таким образом, уравнение (5.9.8) имеет при *-оо общее решение асимп-
тотического вида
t _______ t
x = Ci cos j Vp (Л) dtl + ca sin j Vp (M dtx + у (г1),
'о t<s
где ci и cs-произвольные постоянные и ^ (t)t 0 при t -- со.
358 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
§ 10. Теорема Боля
В этом параграфе мы установим некоторые достаточные условия существования
ограниченного на всей оси It = \-co<^<^-j-o°} решения дифференциальной
системы.
Предварительно докажем одну лемму (см. [61]).
Лемма. Пусть
^ = ДУ+/(0. (5.10.1)
где у = (уь ...( уп)у A - [ajk\ - постоянная (л X ti)-матрица,
f(t)?C(~co, -(-оо), причем Re Ху (Л) ^0 (/ = 1, •••, п) и
sup ||/(0 || =Г<оо.
t
Тогда существует матрица G(/)^ С" (0 111 оо), имеющая
следующие свойства:
1) G(-j-O) - G (-0) = Еп, где Еп - единичная (п'Х.п)-матрица;
2) || G (t) || ^се~а ^ (t ^ 0), где с и а - положительные постоянные;
3) 6(t) = AG(t) при t^O;
-{-СО
4) 4(0= 5 Git-UfiUdt, (5.10.2)
- СО
представляет собой единственное ограниченное на lt решение системы
(5.10.1).
Доказательство. С помощью неособенной постоянной
(я X я)-матрицы S матрицу А можно привести к следующему
виду:
А = S_1 diag (Р, N) S,
где характеристические числа матрицы Р имеют положительные вещественные
части:
ReX,(P)>0 (у = 1. ..., т),
а характеристические числа матрицы N имеют отрицательные
вещественные части:
Re X/(tf)<0 Ц = т+1...........п). (5.10.3)
Положим
G(t) = - S_1 d\ag(ePt, 0) S при /0,
/5 Ю 4^
G (0 = S 1 diag (0, eNt) S при ^^>0.
§ 10] ТЕОРЕМА БОЛЯ 359
Очевидно, имеем G (t) ? С°° (0 <[ 11 \ <[ оо). Кроме того,
G (+ 0) - G (- 0) = Еп
и, таким образом, свойство 1) выполнено.
Далее, полагая
0 <!ai <С т'п к! (?)
/
и
OOj <min f - Ху (А/)],
/
получим
|| ер' || sg c1e',i' при t 0
и
|| eNt || sgcae~ аз' при t^O,
где сх и с? - некоторые положительные постоянные. Отсюда вытекает
свойство 2):
|| G(t) || =ssce-"''i (t Ф 0), (5.10.5)
где a = rnin(aj, a.2) и с-положительная постоянная. Дифференцируя по t
формулу (5.10.3), будем иметь
G(t) = - 5"1 diag (PePt, 0)S =
=- 5_1diag(P, N) S • diag (en, 0) S = AG (t) при /<^0.
Аналогично из формулы (5.10.4) получим
G(t) = AG(t) при /^>0.
Следовательно, имеет место свойство 3).
Наконец, из неравенства (5.10.5) выводим +" - 9 ^ || G(t) || dt^2c\e*'dt
= ^. (5.10.6)
-оо 0
Поэтому интеграл (5.10.2) сходится для любого t? (-со, -f-oo), причем
сходимость равномерна на каждом конечном интервале a<^t<^b. Так как
/ ОО
т|(0 = [G(t- tjfitj Л, + 5С (/ - /,)/(*!) dtu
-ОО (
то, формально дифференцируя по параметру t, будем иметь
t(0 = !<?(+ 0)-G(-0)]/(/) +
360 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Дифференцирование законно, так как несобственные интегралы, полученные в
результате формального дифференцирования, сходятся равномерно на каждом
конечном интервале (a, b) ?
Итак, т| (/) является решением системы (5.10.1). Оценивая л (0 по норме,
на основании (5.10.6) будем иметь
1:0 9 II Л(0 II sSsup ||/(/) || . $ || G(t - /,) || d/, =??Г-- = Г1 <со,
t -СО
(5.10.7)
Следовательно, решение л (t) ограничено на действительной оси
- со <t< -j- со.
То, что ограниченное решение л (О единственно, следует из того, что для
двух ограниченных на lt решений л (t) и Л1 (t) их разность
1 (/) == л, (/) - л (/) является решением однородной системы
- - А х dt ~ Ах'
единственным ограниченным на /^.решением которой является тривиальное
решение Jt = 0.
Таким образом, свойство 4) также выполнено.
Следствие. Для ограниченного решения л (t) системы (5.10.1) справедлива
оценка
sup || Л (t) || =s??sup ||/(0 || ,
t I
где постоянная k зависит только от матрицы А (см, (5.10.7)).
Замечание. Если свободный член f(t) системы (5.10.1) есть tu-
периодическая вектор-функция:
/(/+"о)=/(0 ("О>0),
