Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
интегрируема на [t6, со), т. е. A (t) ^ L [10, оо), то С (t), С'1 (t) ^
еО[Т, оо) и СУ),^[С-1У)]?Ь[Т, со).
Доказательство (см. 6). 1) Для матрицы А (t) рассмотрим ее
характеристическое уравнение
Д (X, 0 = det [El - А (01 = 0, (5.8.2)
и пусть \k = \k(t) (k = \, ..., п) - корни этого уравнения. Так
как собственные числа предельной матрицы А (со) различны, то при
функции lk (t) также будут различны, т. е. уравнение
(5.8.2) в области t0^.T <^со не имеет кратных корней. Дальнейшее
рассмотрение мы будем проводить в области t^T. Функции X,j(t) (k =
\....п) будем считать непрерывными вет-
вями многозначной функции, определяемой уравнением (5.8.2).
Пусть C=[cjk(t)] - неособенная матрица, приводящая матрицу А (t) к
диагональному виду, т. е.
C^(t)A(t)C{t) = A{t), (5.8.3)
где
А (9 = diag [*!(*), X"(f)].
Так как
Л(0С(0 = С(0А(0,
то элементы матрицы С (t) определяются из системы уравнений
2 "л (*) csk (t)=Cjk (0 h (0
s
ИЛИ
21[8л h (0 - aJs (t)} csk (t) = 0 (5.8.4)
(/ = 1, ..., n\ k=\, ..., n), где bfs - символ Кронекера.
350
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
1 ГЛ. V
Если через
с^) = colon [clk(t), ..., cnU(t) ] (k=l, ..., n)
обозначить собственные векторы матрицы А (t), то систему (5.8.4)
сокращенно можно записать следующим образом:
[Elk(t)-A(t)]c^(t) = 0, (5.8.5)
где det[E\k(t) - Л (/)] = Д[АЛ (/), ^] = 0. Таким образом, собственные
векторы c{k) (t) ортогональны к матрице El.k (t) - Л (t).
Легко видеть, что каждая из матриц EXk (t) - Л (/) (k = 1,..., п) при Т ^
t со имеет ранг г - ti - 1.
Действительно, обозначим через Дjk (X, t) алгебраические дополнения
характеристического определителя Д (X, t), полученные в результате
вычеркивания /-й строки и k-то столбца его. Применяя известное правило
дифференцирования определителя, будем иметь
^=|det V-a/fc(01 = 2A"(M).
S
Так как корни ХА (t) простые, то ^ ^ 0 при \ - \k(k)(k=\, , п).
Следовательно, для каждого корня Xft (t) найдется диагональный минор
Appih(t), ЦфО при Г^^со, (5.8.6)
где номер р, вообще говоря, зависит от k. Число р, для которого выполнено
неравенство (5.8.6), можно выбрать не зависящим от t. Действительно в
силу непрерывности алгебраических дополнений Дjk(X, t) и корней Xk(t),
если для некоторого р выполнено неравенство
V Iх* (°°)> 001 == lim арр Iх* (*)> t\ ^ о,
t -*• СО
то при этом же р будут справедливы также неравенства
(t), t] Ф 0 для Т ==? t < оо,
где Т достаточно велико. Но определитель Дрр [Xft (t), t] является
минором (п- 1)-го порядка матрицы EXk(t) - Л (t), и, значит, эта матрица
имеет ранг я-1 (k=\, ..., ti).
Из линейной алгебры известно, что тогда ненулевые решения системы (5.8.5)
пропорциональны соответствующим алгебраическим дополнениям:
С Ik (О_________C"ft (Q _ _____спк (t)
&pi [Х/< (O' ^рг [Xft (О"1"] ^on [Aft (0< '
§ iil
ЛЕММА О ДИАГОНАЛИЗАЦИИ ПЕРЕМЕННОЙ МАТРИЦЫ
351
где p = pk. Выбрав равным единице коэффициент пропорциональности в этих
отношениях, получим
= П (5.8.7)
(/= 1, п; k=l, ti), причем построенные таким образом векторы c[k] (k-\,
п) линейно независимы при Т^^^оэ.
Таким образом, в качестве элементов матрицы C(t), приводящей матрицу А
(/) к диагональному виду, можно взять целые рациональные функции
характеристических корней Xj (t), ).n(t)
ii элементов asr(t) матрицы А (/):
Cjk(t) = Pjk[h(t), asr(t)] (5.8.8)
и, следовательно,
С(0еС[Т,оо].
Пусть А (со) = [йд (со)] и X* (со) - ее характеристические корни. При t -
> оо имеем
ajk (t) -> ajk (со)
и, следовательно,
h (t) -> X* (со) (А = 1, ..., л).
Так как корни X* (оо) простые, то при t^T, где Т достаточно велико, корни
X* (t) будут содержаться внутри кругов j X - X* (со) j sg со (k = 1,...,
п) комплексной плоскости X (рис. 54), попарно расположенных вне друг
друга.
Отсюда при t^T имеем
(5.8.9)
и, следоватечьно, из формулы (5.8.8) выводим
||С(/)|Кс8, (5.8.10)
Рис. 54.
О
где через ср (р = 1, 2, 3,...) здесь и в дальнейшем обозначены некоторые
положительные постоянные. Далее, предельные значения собственных векторов
с{к) (со) - lim с[к) (t)
t-* СО
являются, очевидно, собственными векторами предельной матрицы А (со),
причем ввиду их линейной независимости имеем
| det С (оо)j = mod
С11 (°°) • ¦ С\п (оо)
сп) (со) . • с""(со)
:С4>0.
352 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
Отсюда Так как
C-4t)= (Ckj(t))e С[Т, оо),
| det С (/) | ^2 с8 при 1Ss Т. 1
[ГЛ. V
(5.8.11)
det С (t)
то из неравенств (5.8.10) и (5.8.11) получаем
II С1 (() II =s? се при t т.
(5.8.12)
2) Пусть теперь А (t) $ С1 [/0, оо). Так как корни \к (/) простые, то
существуют непрерывные производные (t)JJk - 1,..., ft), которые можно
определить из уравнений
д;[М*М]-^г + дНЫ0, *] = о. (5.8.13)
Ввиду того, что Д>. |Д>: (оо), ОО] ^ 0, lh(t), /]|Ssc7>0 при
Кроме того, имеем
АН"., 0=| X - ап (/) - <h\ (t) - Oia (0 ¦ ¦ X - а.м (/) .. • - а1п
(/) • - ain (t)
@п\ (0 - ащ (0 • • (0 п п
-- S asr (t) Asr (t).
s= 1 r~ 1
Отсюда, учитывая формулу (5.8.8) и неравенства (5.8.9), из формулы
