Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 88

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 121 >> Следующая

(5.7.6).
Докажем, что система интегральных уравнений (5.7.9) удовлетворяет
условиям теоремы из § 6. Для этого достаточно показать, что элементы
строк матрицы
К<*>(*,т) = diag [*}*)(*,¦:)......*!?>(*. z))
ограничены в областях: о>у = {Т ^ t <^со, х?[Т, t) при /? I и
u)J = {T^t<^co), т ? [t, со) при / G П.
Действительно, если / ? I, то из (5.7.10) имеем
Re [МО - при t==sT,
причем -с s^t. Следовательно,
| К? (t, т) | = ехр {( Re [Ху ft) ~ Xs (*,)] dt^l.
т
Пусть теперь /?11, тогда z^st, и, значит,
т
I Kf (t, т) | = ехр {- ^ Re [X,- (*,) - X, (*,)] du}.
t
Если
Re [Ху (0 - \ (0] Ss 0 при t^T,
то, очевидно,
| К fit, т)|^1.
Если же
Re [X; (0 - Xs (01 sg О,
то в силу неравенства (5.7.11) получаем
СО
I У, "'¦)! ехр {- ^ Re ]Х, (/,) - ls (г,)] dt{] < со.
Г
Таким образом,
I Kf it, х); ==s с < со в каждой из областей шу.
346 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. V
Следовательно, если Т таково, что выполнено неравенство
СО
||Q(t)||?fc^?<l, (5.7.13)
г
то при t^T существует непрерывное ограниченное решение интегрального
уравнения (5.7.9), которое (см. замечание к теореме из § 6) можно,
согласно методу последовательных приближений, изобразить в виде абсолютно
и равномерно сходящегося ряда
СО
Уз (0 = es + 2 [.yf (t) - yf- Ч (01,
P=i
где
yf (t) = es + $ K{s) (t, t) Q (t) yf ~]) (i) di (p= 1, 2,...)
и
yT(t) = es.
Из уравнения (5.7.9), учитывая, что \ab t]<ZlT, со], имеем оценку:
СО
IIУз (0 IK II и + с S IIQ W II ||ys W I! dx\
т
отсюда, используя неравенство (5.7.13), получаем
и, поэтому
при Т s^t<^CO. Докажем, что
\\ys(t) ||<l+?sup \\ys(t)\ t
sup|i.M0!!^r- (5.7.14)
ys(°°)= limys(t) = es. (5.7.15)
/->CO
Полагая
ys (0 = colon [г/и (t), ... , yns(t)},
из уравнения (5.7.9) получаем t t
У is (0 = + $ exP $ (^i) - (*i) J dti 2 Qjk ('') VkS W
dt, (5.7.16)
a} , ft
где bjs - символ Кронекера.
§ 71 АСИМПТОТИКА ?-ДИЛТОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 347
Если /?1, то, очевидно, j^s и, значит, ?/s = 0. При Т . /' • . / будем
иметь
V I' t
yjs (0 = S еХР S [Х/ ^l) ~ dtl ' еХР S ^ ^ ^ dti X
X 'EiQjk М С1) dt -f j exp ^ [\j (ty) - As (/j)] dt ¦'?iQJk(i)yks(z)dt=
k V 1 k
t
= exp 5 [>v (ti) - xs (/,)] dh ¦ yjs (f) -f
V
+ \ K}f(t,z)Y,QjA')yusb)d^ (5.7.17)
^ k
Так как для / G 1. как указано выше, выполнено неравенство
\Kfit, т)!^1, то, выбирая f достаточно большим, при t^f имеем
I$ К-f Qjk (х) yks (х) dt ] =sc ^ S ! Qjk (x) 11 Укз (x) 1 dt - :
V k t' k
00
¦ sup j yks (t)11 jj li Q M ii dt < у.
Фиксируя tr и учитывая, что
t
^ Re [A;- (/t) - Xs (/t)] dty > 1 со
t'
при /-^co, получаем t
I exp J [Ay (tt) - Xs ft)] dti • yJs (О < у,
v
если t^> t".
Следовательно, из формулы (5.7.17) находим
i У is (t) i < s при t > max (f, Г)
и, значит,
lim yjs (t) = 0 = 5/s.
t -> CO
Если же j ^ И, то на основании формулы (5.7.16), учитывая ограниченность
подинтегральной функции при t-*-oo, имеем
СО t
У и (0 = hs - S ехр 51lJ (h) - К ft)] dti S Qjk (^) Укз M * -> bs ¦
348 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
Таким образом, равенство (5.7.15) доказано. Следовательно,
ys (0 = ^-гчЛ0>
где r]s(0->-0 при t ->- со.
Возвращаясь к переменной л:, в силу формулы (5.7.5) получаем, что L-
диагональная система (5.7.1) имеет систему решений вида
t
хЛ0 = ехр ^ IsVJdU-les + rL'V)] (s=l.................n-t^T). (5.7.18)
t 0
Эта система будет фундаментальной, так как при достаточно большом t,
очевидно, детерминант Вронского
W (t) = det [xJs (0] = exp $ ^ (h) dti • det -f ч)Л (*)] ^ 0.
t0 s
Ввиду того, что линейная система (5.7.1) для каждого начального условия
xs{T) = cs допускает единственное решение, определенное в промежутке [/0,
оо), фундаментальную систему (5.7.18) можно однозначно продолжить на
промежуток [4, с").
Следствие. Если для L-диагональной системы (5.7.1) существуют пределы
t
as= lim -J-^ Re (М (s=I.................. п), (5.7.19)
t -> со 1 J *0
то эта система является правильной, причем совокупность чисел as
представляет собой ее полный спектр.
Действительно, на основании формулы (5.7.18) будем иметь
t
Xl-M0] = lim т \ Reh(ti)dti = o.s (s= 1, ..., п).
' t -* СО 1 J h
Кроме того, так как
t t
lim 1 i ReSp [A ft) + Q (4)1 = lim ~ \ У Re\s ft) eft +
t -* CO 1 *j t-*Ob 1 V "
to t0 s
{ n + Hm Y Re Sp Q ft) eft = ^ as + 0 = ^
to s s = 1
то система (5.7.1) правильная (гл. Ill, §§ 7 и 11) и {as} есть ее спектр.
§ S1 ЛЕММА О ДИАГОНАЛИЗДЦИИ ПЕРЕМЕННОЙ МАТРИЦЫ 349
§ 8. Лемма о диагонализации переменной матрицы
Лемма. Пусть для квадратной (п X п)-матрицы A (t) ?C[t0, со) существует
конечный предел на бесконечности
А (со) = lim A (t), (5.8.1)
i -> со
причем характеристические числа предельной матрицы А (со) простые. Тогда
при t^T, где Т достаточно велико, существует ограниченная матрица
C(t)(^C[T, со), имеющая ограниченную обратную матрицу Сх(0^С[Т, сс), с
помощью которой матрица A (t) (t ^ оо) приводится к диагональному виду
A (t) = С1 (0 diag [X, (t), ..., K(t)]C(t).
Если, сверх того, матрица А (t) С1 [^0, оо) и А (t) абсолютно
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed