Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
р (ф, г|з) = sup || Ф (0 - г|з(0Ц.
T^t<. СО
Тогда R будет представлять полное метрическое пространство (§ 5, примеры
2 и 3).
В R рассмотрим линейный оператор
t
Лф(9=/(9+5к(*,т)<г(т)ф(т)* (T^t<оо). (5.6.3)
а
Если считать, что значения т берутся из соответствующей области шу(/ ? I,
II), то матрица К (t, т) в силу условия теоремы является ограниченной, т.
е.
\\K(t, т)||^с<оо. (5.6.4)
§ В] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРА 341
Поэтому для м/i! "сCj <^оо и !!<p!|ssSCj<oo, учитывая, что [яу-, /] С1Г
[7^, оо], в силу формулы (5.6.3) и абсолютной интегрируемости матрицы Q
(т) имеем
СО
ii Ay (t) Ii cs ||/(01! 4- 5 !i к (t, t) ii II q (,) IIII <P (01! dx <
T
Cj -j- cc.i jj |j Q (t) || dxs^c3<^ со. т
Нетрудно убедиться также, что Ay (t) ? С [Т, со). Следовательно, если ц>
? R, то Ац> ^ R.
Покажем, что отображение Аф сжатое. В самом деле, для Ф R и яр R имеем
Лц> (0 =/(0 + V, х) Q (х) q> (х) dx
а
И
лч>(0=/(0-МЖ*,"') Q СО Ф СО dx.
а
Отсюда
СО
Лф (0 - Лф (0 =\-К (t, х) Q (х) [ф (т) - ф (т)] dx
а
и, следовательно,
со
II лф(0 - Лф(0!! < S II К (*, *)ii!!QМ IIII Ф(т)-ф(т) IIdx<
Т
со
<csup||V(0-4>(0llS IIQOOil*. (5.6.5)
' 7"
В силу абсолютной интегрируемости матрицы Q(x) число Т можно выбрать
столь большим, чтобы имело место неравенство
со
IIQ(-C) = 1. (5.6.6)
Т
Тогда из неравенства (5.6.5) получим
sup II Лф (0 - Лф (0 II ¦< q sup || ф (0 - Ф (0 ||, t t
т. е.
р(Лф, Лф) sc qp (э, 6), (5.6.7)
где 0<;<7<Ч. Таким образом, отображение является сжатым.
342 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Согласно принципу сжатых отображений (§ 5) в R существует единственное
решение у (t) (Ts^t <^со) уравнения
Лф = ф,
т. е. система интегральных уравнений (5.6.1) допускает единственное
непрерывное решение у (t), ограниченное на промежутке [Т, оо).
Теорема доказана.
Замечание. Решение у (t) может быть найдено обычным методом
последовательных приближений:
Уо (0 =/(0.
Ур (0 =/(0 + 5 К (*•т) Q W^
а
(/7=1, 2, ...),
где
yp(t)=ty(t) на [Т, со).
§ 7. Асимптотика L-диагональных систем
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
^ = [A(0 + Q(9U, (5.7.1)
где х - colon (хи ... , хп),
A(t) = dlag[)4(t), ... , K(t)]?C[tо, со)
и Q(OGM*o>°°)> т- е- Q (0 измерима (например, кусочно-непрерывна) и
СО
5 11Q (O il df<oo, (5.7.2)
^0
причем интеграл (5.7.2) понимается или в элементарном смысле, или в
смысле интеграла Лебега. В уравнении (5.7.1) искомый вектор X и матрицы A
(t) и Q(t) будем считать, вообще говоря, комплексными.
Будем предполагать, что элементы диагональной матрицы A (t)
асимптотически разделены, т. е. выполнено условие А: величина
Re [Ху(0 - (01
для всех / и k не меняет знака на Т <^сю, где T^t0 - некоторое число,
которое можно предполагать произвольно большим.
§ 7| АСИМПТОТИКА ?-ДИАГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 343
Это означает, что кривые
zj = Re lj (t) и zk = Re Xft (/) (/ k)
не пересекаются при t^T, причем касание их не возбраняется
(рис. 53). Из условия А следует, что для каждой пары (/, k) существует
конечный или бесконечный интеграл
00
^ Re [Ху (0 - X* (/)] dt. (5.7.3)
Система (5.7.1) называется L-диагональной. Такими системами
занимались Шпет [57] и Перрон [58] при A(/) = const и Левинсон [59] при
A(t) переменной.
Изучим поведение решений x = x(t) системы (5.7.1) при
t-> со, причем в основном будем придерживаться изложения Рапопорта [60].
Пусть
t
МО = № (*i) (5.7.4)
h
(s=l, ... , n). Фиксируя индекс s в системе (5.7.1), произведем замену
переменных
x = e?*ll)ys. (5.7.5)
Имеем
§ = e^{t) ^ + &{1) К (t)ys = А (0 ^ " у s + Q (0 ft(r) уs. Отсюда,
учитывая, что - скалярная функция, получаем
^ = [А (0 - X, (О Е] ys -j- Q (t)ys. (5.7.6.)
344 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Введем матричную функцию
K^(t, т) = ехр ^ [Л (t^ - Х5 (t^ Е] dtu (5.7.7)
Т
являющуюся нормированным при t = т решением однородной системы
Kf(t,x) = [^(t)-\(t)E\K^(t,^), (5.7.8)
удовлетворяющим начальному условию:
K{s) (т, т) = Е.
Рассмотрим систему сингулярных интегральных уравнений
Уз (0 = е5 + ^ ^(5) (*> т) Q (T).Vs (?) dx, (5.7.9)
а
где
-0-
~a{
i , a =
an
-0-
причем координаты вектора а выбираются следующим образом:
1) если
ОО
5 Re [Ху (0 - \s(t)]dt = - оо (5.7.10)
(коротко, / G 1)> т0 полагают а; = Т, где T^t0 конечно;
2) если же
ОО
\ Re [Ху (t) - Xs (01 Л > - оо (5.7.11)
^0
(коротко, / ^ II), то принимают ",¦ = со.
Непрерывное решение ys (t) системы интегральных уравнений
(5.7.9) удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.7.6).
Действительно, дифференцируя равенство (5.7.9) по параметру t и учитывая
формулу (5.7.8), будем иметь
djf = K^ (t, t) Q (t)ys (0 +
+ f[ A (/) - Xs (t) E] frs) (t, x) Q (x) ys (t) dx =
a
= Q(t)ys(t) + {b(t)-\s(t)E\ lys(t)-es]. (5.7.12)
§ 7J АСИМПТОТИКА--i-Д И А ТОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 345
Так как
[А (0 - M0?]e* = diag[X,(0, , Vi (О, 0,XS+1(0, ...
... , Хл (О]-diag (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0) = 0,
то уравнение (5.7.12) совпадает с дифференциальным уравнением
