Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
II ? (О II < II (О II + II "Р (0 - 'Ы, (О II <еЯ1 + 1-
Поэтому tp (t) также ограничена и, значит, <р?/?, что и доказывает
полноту пространства 7?.
Определение 3. Пусть любому элементу х?Х по определенному правилу А
ставится в соответствие элемент Ах = у ? У. Тогда говорят, что
У- Ах
есть оператор, определенный на множестве X со значениями из Y
(действующий из X в Y).
Множество X называется линейным пространством (см. [51]), если для любых
х, /?Х определены операции: 1) 'сложения х-\-х'?Х и 2) умножения на
скаляр ах?Х с обычными свойствами. Например, таковым является векторное
пространство (гл. I, § 5).
Оператор А называется линейным, если он определен в линейном пространстве
X и имеет значения, принадлежащие также линейному пространству Y, причем
для любых х, х'? X имеем
1) А (х + х') = Ах + Ах';
2) А (ах) - о. Ах (а - число).
Пример 4. Оператор ставящий в соответствие каждой функции
x(t)^Cl (а, b) се производную у (t) = х' (t) ? С (а, Ь), называется
оператором дифференцирования. Легко проверить, что этот оператор
линейный.
Пусть х ? R, где R - метрическое пространство и у -Ах - оператор, не
обязательно линейный, действующий из R в R.
Определение 4. Оператор А называется непрерывным, если для любого s^>0
существует 8^>0 такое, что из неравенства р (*', х) <С_ § (х, х' ? R)
следует неравенство
р (Ax', Лх)<^8.
Определение 5. Отображение
У = Ах
338 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
называется сжатым (или сжимающим) в R, если для любых точек х, х' ? R
выполнено условие:
р (Ах, Ax')s^qp(x, х'), (5.5.4)
где число q удовлетворяет неравенству 0 q 1.
Замечание. Сжатое отображение у = Ах непрерывно.
Действительно, для данного е^>0, выбирая 8 = -^-^>0 из неравенства
(5.5.4), будем иметь: если
р(х, х')<^Ь = ~, то р(Ах, Ax')s^qp(x, -О О-
А это и означает, что^ у = Ах непрерывно.
Теорема (принцип сжатых отображений). Всякое сжатое отображение
у = Ах (5.5.5)
в полном метрическом пространстве R имеет одну и только одну
неподвижную точку, т. е. для сжатого отображения А существует
единственная точка R татя, что
А1 = 1 (5.5.6)
Доказательство [51]. Пусть х$? R. Рассмотрим последовательность
хп = Ахп_ 1 (/г = 1, 2, ...), (5.5.7)
где xnCz R. Из формулы (5.5.6) вытекает, что р(*п+1. хп) = р(Ахп,
Axn_0^qр(хп, xfl_1)^qnp(xu х"). (5.5.8)
Отсюда при любом р^> 0 имеем
Р (Хп+р, Хп) '::v^ р (Хп р, Хп ,p_i) -|- Р (^л+р-Ь Хп-_р о) -}- • . . -|-
р (Хп j, Хп)
"с; qn+p ip (xlt x0) -|- qnvp Jp (xlt x0) qnp (xu x0) =
= p (Xl ' x°^ ^ p ^ ^ <? ' если n^>N(i), где Л/ достаточно велико.
Следовательно, последовательность \хп} фундаментальная, а так как
пространство R полное, то существует
lim хп = \.
§61 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРА 339
Переходя к пределу при л->-оо в равенстве (5.5.7) и учитывая
непрерывность оператора А, будем иметь
lim хп = A limjt"_i,
П-+СО 00
ИЛИ
\ = А\.
Таким образом, ? есть неподвижная точка отображения (5.5.5). Эта
неподвижная точка единственная. Действительно, пусть
AV = \\ (5.5.9)
где %' ?. Из равенств (5.5.5) и (5.5.9) получаем
р(5, Г) = Р (Ai, AV^qpd, S')-
Отсюда
1 <<7,
что невозможно.
Теорема доказана.
Замечание. В условиях теоремы неподвижная точка ? преобразования (5.5.5),
т. е. решение операторного уравнения (5.5.6), может быть найдена методом
последовательных приближений (5.5.7), исходя из произвольного начального
значения х0~ R.
§ 6. Сингулярные интегральные уравнения типа Вольтерра
Рассмотрим систему сингулярных интегральных уравнений
t
y(t)=f(t) + \K(t, t)Q(t)y(t)dx (t^tо), (5.6.1)
a
где
.у (*) = colon [г/! (О, , yn(t)\
- искомый п-вектор;
/(*) = colon [/,(*)> fn(t)]?C[t0, оо)
- известный n-вектор; K(i, z) = [Kjk(t, t)L Q (x) [Q/a (x)1 -
непрерывные (n X ")-матрицы;
a = colon (au ... , an)
- постоянный n-вектор с координатами t0 T sg aj -(- °o (/=1, ..., n),
T - некоторое достаточно большое число.
Для краткости положим,
/ ? I, если -(- °°,
и
/? II, если aj = -\- со.
340 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Тогда систему (5,6.1) можно записать в следующем виде:
yj(t) = fj(t) + \^Kjk{t^-)Q,s^)ysb)dx U?l), (5.6.2)
Oj k, s
CO
yj (0 = fj (0 - s 2 Kjs (t, T) Qks (T) t/s (x) dx (/ G II).
/ k, s
Будем считать переменные t их действительными, а матрицы K(t,t) и Q('t),
вообще говоря, комплексными.
Теорема. Пусть матрица К (t, т) = [/Су*(^, ")] имеет непрерывные
ограниченные элементы Kjt, О, 'г) в каждой из областей
"у = {* ? \.Т> °°). т ? яры / ? 1
Wj = {t?[T, оо), т?=[4 оо)} при /?П
(рис. 52), а матрица Q (т) непрерывна и абсолютно интегрируема на [tn,
оо), причем вектор-функция /(т) непрерывна и ограничена на [4, °°)- Тогда
если Т достаточно велико, система интегральных уравнений (5.6.1) яры
ta^T^t<^oo допускает единственное непрерывное ограниченное решение у (t).
Доказательство. Пусть R - совокупность всех ограниченных вектор-функций
q> (t) ? С[Т, со), где Т Sa t0. Рас-" стояние между функциями q>(t), t (0
? R определим формулой
