Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 84

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 121 >> Следующая

1) X(t, х, A)GC,(2), где 2 = [0, ЛХ^ХА;
2) X (t, х, X) е Сх (2) равномерно по совокупности переменных t, х, X
в 2, т. е. для Vsj>0 з8 = 8(е)^>0 такое, что для любых t ^ [0, 7"], x^D,
х' ?D н Х^А справедливо неравенство
||*(f, *, l)-X(t, X, X) И <е,
если только || х' - х || <5;
3) X (t, jc, X) в 2 интегрально непрерывна по параметру X в точке
сгущения Х0 Л, т. е. при любых ^ ^ [0, 7"] и X ? D справедлива формула
(5.3.2).
Тогда, если xx(t) = x(t, X) - семейство вектор-функций, кусочно-
непрерывных по t на [О, Т] со значениями хх (t) ? D при t ? [О, Т] и X ^
Л, причем
хх (t) ху.0 (i) при X
(*?[о, т}),
(5.3.3)
то
ко о
lim $.ДГ(т, л:х (т), X)dz =
\ . 1 у
t
= 5^(т. h)dt
(O^t^T). (5.3.4)
Доказательство (см. [55]). 1) Докажем сначала, что формула (5.3.2)
справедлива для любой кусочно-постоянной вектор-
tg-0
функции х = х{у), где х (т) = л:, = const при
(м = 1, 2, ...,т; 0 = 4</1<4<...<^т = Г), причем x,^D
(ч - 1, 2, ..., т) (рис. 50).
330 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Пусть
tk<t^tk+1 (fe=?Sm - 1).
Имеем
I k с
$ЛГ(т:, Х(т), ^ -^ft+b X)* =
0 ' = '',--1 'а
/г ^
= 2 [S *(т> *v, x)*- 5 x(t, *" >.)^1 +
v = l о a
.г *h
-f Кл^т, xks.y, l)dx - ^ X(x, лг/г+ь X)fift|.
о о
Переходя к пределу при Х->-Х0 в этом равенстве и учитывая условие
(5.3.2), при 0получаем t
lim ^ХЧт, x(i), l)dx =
Х-^Хо q
k <,_!
= 2 S \) dz - 5 *(,, X0)rft| +
v = 1 0 0
* 'ft ¦s
0
t
= $X(t, *(T)> xo)",'c- (5.3.5)
X0)fift-J X{x, Xk+u X0)fiftj =
2) Пусть теперь для вектор-функции jr* (0 выполнено условие
(5.3.3). Рассмотрим произвольно малое число е^>0 и выберем 0<^sj<^e. Так
как X(t, X, X) равномерно непрерывна по х в области <и, то существует 8
0 такое, что
|| X(t, хи X) - X(t, Хь X) || <е, (5.3.6)
при || Xt-х2 II <8, если только ^ G [0, Г], Xj ?D, x.2?D и X ? Л. Из
равномерной сходимости семейства х* (0 к вектор-функции Xia(t) следует,
что
||лгх(О-Л0(О||<8 (5.3.7)
при O^t^T и \ U (Х0).
Наконец, ввиду кусочной непрерывности предельной вектор-функции X\0(t)
найдется кусочно-постоянная вектор-функция x(t) такая, что
|| ДГх" (0 ~ л: (0 II <5 (5.3.8)
§ 3] ТЕОРЕМА КРАСНОСЕЛЬСКОГО И КРЕЙНА 331
при O^t^T (рис. 51). Для t е [О, Т\ имеем / t
/ = П 5 X(х, л-х(т), l)dx - \X(x, Х4(х), А0) dx || sg:
о о
t
^||*К *,(т), х-ф), *)М' +
О
-!-SW, a0W, Ц-х^, *(х), х)||* +
и
t
+ *)-*(*,
о
t
+ $!№> h)-x0(*, Хх0Ь), Mll* =
= /j -|- /о -j- /3 -|- /4. (5.3.9)
Так как вектор-функция x(x) кусрчно-постояппая, то в силу
формулы (5.3.5) при любом фиксированном t ? [О, Т] окрестность U (Х0; t)
можно выбрать так, чтобы
13 = \\{[Х(х, х(х), Ц~Х(х, Х(х), А0)] dx || <gj (5.3.10)
о
при (^о! 0-
Далее, на основании неравенства (5.3.6), учитывая неравенства (5.3.7) и
(5.3.8), получаем
11 = {\\Х(х, *,(,), \)-Х(~., ХМ, X) || dx < ?j/ sc; sj7";
332 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. V
И
t
/*=5 II А- (Т, * (Т), >•") - * К Хх0 М, А0) || d'z < 4t ^ е, Т.
О
Таким образом, из (5.3.9) и (5.3.10) имеем /<МЧ-37)<з,
если принять в] <~ -т ~ът > гДе ^ ^ (^о! t). Следовательно,
1 "Т- О i
t t
для любого ??[0, Т].
§ 4. Теорема Н. Н. Боголюбова
Пусть в области 2 = {0 ==? t <^оэ, x?D Се?л{ (D-область) определена
нелинейная система
dit=zX{t, х), (5.4.1)
зависящая от малого положительного параметра е, где
X{t, х) ? С/ (2) f] Lip, (2),
причем X (t, х) равномерно ограничена в Q:
|| *(*, *)!!*? М (5.4.2)
(|| X [| - евклидова норма).
Теорема Боголюбова (см. [56]). Пусть 1) для каждого X 6 D существует
равномерный по х конечный предел
N
Y (*) = lim ^ [ X (t, x)dt?C (D); (5.4.3)
Аг->со J 0
2) усредненное уравнение
% = *Y(y), у(0, г) = х0еО, (5.4.4)
имеет единственное решение y=y(t, е)СА определенное при е=1 на сегменте
[0, Тх]. Тогда для каждого ?]^>0 существует ео - ео (Yi) 0 такое, что
решение x = x(t, е) данного уравнения
(5.4.1) и решение усредненного уравнения (5.4.4) с одинаковыми
§ 4] ТЕОРЕМА Н. Н. БОГОЛЮБОВА 333
¦о,
начальными условиями: л; (0, е)=у(0, е) = лг0 при Osgs<j будут
удовлетворять неравенству
||*(f, е)||<7] (5.4.5)
Т
на некотором отрезке 0 где О <^Т ^Ту.
Доказательство. Пусть р^>0 - расстояние начальной точки лг0 от границы
области D. Тогда в силу неравенства (5.4.2) решение x(t, е) уравнения
(5.4.1) с начальным условием: jc (0, г) = лТо, будет определено по
меньшей мере в промежутке
(см. [12]). Примем
Мгу п
Р
Т = min Ту,
\ MVп Введем "медленное время"
x = et.
В таком случае уравнения (5.4.1) и (5.4>4) при е^>0 можно записать
следующим образом:
% = Х[^-, х)=У(х, х, в) (5.4.6)
dz
?=У(У)- (5-4.7)
dz
Если положить
Y(t, х, 0) = У(х),
то функция Y(t, х, е) будет в 2 интегрально непрерывна по параметру е при
е = 0. Действительно, на основании условия
(5.4.3) при Of=^t<^oo и x?D имеем
I I
lim ^ К(т, л;, e)dx= lim [х(-, x)dx =
s--|-0 J e__(-0 J \ ? /
e e
= lime'?^(0, x)db = t\im jr- [ X(B, x)dd =
e->4-0 ^
-+0 j a-(-0 ¦ 0-
t
= tY{x) = \Y{x)dt = ]Y(*, x, 0)d*.
334 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed