Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
если только
\t' -t"\ < -4- = 8 (t', t" ? (a, b), V < т < t").
У пМ:
Теорема Арцеля. Из каждого бесконечного семейства вектор-функций f (t, X)
(X Л), равномерно ограниченного и равносте-
326 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ IГЛ. V
пенно непрерывного на конечном промежутке (а, Ь), можно выделить
равномерно сходящуюся на (а, Ь) последовательность
f{t, lk) (k=\, 2, ...; Х*?Л).
Доказательство (см. [9], [51]). Рассмотрим счетное всюду плотное
множество точек tu t.,, .,,, tk, ... на промежутке (а, Ь), например
множество рациональных точек. Множество значений f(tu X) ? (к G Л)
бесконечно и ограничено и, следовательно,
¦ из него можно выделить сходящуюся последовательность f(t\,X'?)
(/п=1, 2, ...). Далее, множество значений f(U, Х?) (т= 1,2,...) также
бесконечно и ограничено и, значит, допускает сходящуюся
последовательность fit*, ХЦ1), где числа Х^' являются частью чисел Х?.
Продолжая рассуждение, получим счетное множество вложенных
последовательностей
f(t, х">), f(t, х-), •••; f(t, К1')-, fit. ь?'), ¦¦¦,
из которых первая сходится в точке tu вторая - в точках tx и 4 и т. д.
Рассмотрим диагональную последовательность
f(t)=f(t, Х-), Mt)=f(t, Х<'>), ..., f"(t)=f(t, ХП, ... (5.2.3)
Так как для любого т, при k^m, члены диагональной последовательности fk
(t) образуют подпоследовательность последовательности {/ (t, xj?>)} (k -
1, 2, ...), сходящейся в точке tm, то диагональная последовательность
сходится в каждой точке tm(m = = 1, 2, ...).
Докажем теперь, что диагональная последовательность {fk (t)} сходится
равномерно на всем промежутке (а, Ь).
Пусть е^>0 произвольно. На основании равностепенной непрерывности
семейства вектор-функций / (t, X) можно определить
число § = 8^i-^^>0, соответствующее числу у. Так как промежуток (а, Ь)
конечен и множество {tm} всюду плотно на (а, Ь), то найдется конечная
система точек tai, 4", •••, 4 , представляющая собой 8-сеть на (а, Ь), т.
е. такая, что каждая точка t (а, Ь) будет содержаться в 8-окрестности
одной из точек ta. (/'-- 1, 2,... ..., р). На этой конечной системе точек
диагональная последовательность (5.2.3) сходится и, следовательно, для
нее выполнен критерий Коши, причем, ввиду конечности числа точек, равно-
§ 21 ТЕОРЕМА АРЦЕЛЯ 327
мерно относительно данных точек. Иными словами, найдется число N - N
l^j такое, что при m^N и k^N,
II fm (ta.) -fk (Ц) || <| (i = 1, 2, ..., p). (5.2.4)
Пусть t - произвольная точка промежутка (а, b) и ta.- бли-
жайшая точка 8-сети, т. е.
I*-*.,!< 8. (5.2.5)
Тогда в силу равностепенной непрерывности функций {Д (0} и выбора числа 8
имеем
II/" W-/"(*.,) II < у (5.2.6)
и
|1Л(0-Л(*.,Ч1<т- (5-2-7)
Далее, при m^N и k^N получаем
\\fm(t*)-fk{t") II <у. (5.2.8)
Следовательно,
II fm (0 ~fk (t) || ^ || fm (t) -fm (U || + || fm (ta .) -fk
(у || +
+ II /* {ta} -fk (t) || -3 "Ь 'з + -j =e- (5.2.9)
Таким образом, для последовательности {Д (/)} йа (а, Ь) выполнено условие
критерия Коши и, значит, эта последовательность равномерно на (а, Ь)
сходится к некоторой предельной вектор-функции ф (t), т. е.
fk(t)=f(t, ^)=?ф (t) на (а, Ь).
Так как члены последовательности {fk {t)\ непрерывны, то предельная
функция ф (t) непрерывна на промежутке (а, Ь).
Теорема доказана.
Следствие. П усть семейство вектор-функций f (t, X) (X ? Л) равномерно
ограничено и равностепенно непрерывно на бесконечном интервале (t0, со).
Тогда из этого семейства можно выделить последовательность fk(t)=f(t, h)
(A = l, 2, Х*еЛ), едящуюся на интервале (t0, со) к непрерывной вектор-
функции ф (t) равномерно на каждом конечном промежутке (a, b)d(to, 00).
328 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ [ГЛ. V
Это проверяется непосредственно путем последовательного применения
теоремы Арцеля к системе расширяющихся конечных промежутков
{аъ h) С ("з.
исчерпывающей весь интервал (?0, оо):
СО
U (a*. bk) = {h, оо).
/г = 1
Замечание. Равномерной сходимости выделенной последовательности {Д (0} на
всем интервале (t0, оо) в общем случае гарантировать нельзя.
§ 3. Теорема Красносельского и Крейна
Пусть
X{t, х, X) (5.3.1)
- вектор-функция, определенная в области
2 = {*€10, ЛХ*€0С^ЛХ*€Л}
и имеющая значения X(t, х,
Определение. Будем говорить, что данная вектор-функция X (t, х, X)
интегрально непрерывна в Q по параметру X в точке сгущения Х0(=А, если
для любых Т] и x^D
имеет место предельное соотношение
t t lim §X(i, х, l)dz = ^X (*, x, l0)di. (5.3.2)
о
Замечание. Условие интегральной непрерывности не эквивалентно обычной
непрерывности. Например, функция
!sin~ при X ф 0,
0 при Х = 0
не является в области -оо<^Х<^со) непрерывной
по X при X = 0. Однако эта функция интегрально непрерывна
по X при Х = 0, так как для каждого отрезка [0, t] С [0, Т\
имеем
t (
lim \ X (т, Х)а'т = Пт \ sin й?т = iirrl X (l-C0S:L) -
l - 0 J л 0 J Л U0 I Л /
t
=z 0 = ^ X (t, 0) rfx. и
§ 31
ТЕОРЕМА КРАСНОСЕЛЬСКОГО И КРЕЙНА
329
Теорема Красносельского и Крейна (см. [55]). (Обобщение теоремы о
переходе к пределу под знаком интеграла.) Пусть
