Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
0
где [ )j обозначает /-ю компоненту соответствующего вектора. Поэтому в
окрестности начала координат О эти начальные значения
yf - [у (О, a)]j удовлетворяют системе уравнений
yT+j = b(y\\ ..., уТ) (/=1, n-k),
которые определяют в пространстве е^у некоторое ft-мерное многообразие Sh
начальных значений, порождающее решения у (t) О
при t ->¦ со.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
319
Возвращаясь к прежним переменным
х = Су,
получим, что аналогичное утверждение справедливо для решений x = x{t)
исходной системы (4.22.2).
Следствие. Пусть матрица А имеет k характеристических корней с
отрицательной действительной частью и (п - k) характеристических корней с
положительной действительной частью, причем условие Липшица (4.22.3) для
<?(t,x) выполнено для всех оо, -4-оо) и константа Липшица достаточно
мала. Тогда в некоторой окрестности точки О пространства в%пх существуют
многообразия S% и (рис. 49), соответственно, измерений k
и (п - k) такие, что для решений x(t) системы (4.22.2) справедливы
предельные соотношения:
x(t)-+ 0 при t-|-оо, если x(0)?Sl x(t)-*0 при t-*¦ - оо, если x(0)GSB_*.
Упражнения к главе IV
1. Пусть для приведенной системы
-? = X{t,x) (X(f,0)=0) (*)
существует ограниченная функция
V(t, x)?C№(Z),
Z={t0^t< со, j! JC j:! < //}, имеющая полную производную в силу системы
(*):
V (t, х) = o.V (t, х) W (t, jc),
где а - положительное число и W (t, х) - знакопостоянная функция, причем
функция V такова, что в любой окрестности t = t0, |ijcj|<8 существует
точка jc0, для которой выполнено неравенство
V (t0, х0) W (tm х") > 0.
Тогда тривиальное решение jtsO неустойчиво (см. [13]).
2. Пусть для системы (*) (см. 1) существует ограниченная положительно
определенная функция V(t, x)?C^(Z), производная которой V(t, х) в силу
системы (*) отрицательно определенная. Тогда для любого е>0 суммарное
время пребывания нетривиального решения x = x{t) (t0 =s; t < сю) вне s-
окрестности центра притяжения О ограничено.
3. Пусть 1) A - {ajh\ - постоянная (п X л)-матрица и все решения
системы
ограничены на полуоси t0 "с t < со; 2) f(t, x)?C(/j х |j х ц ^ Л), причем
II f(t, х) ||^g(0 || jc ||,
320
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
где
со
J g (t) dt < га-*0
Тогда тривиальное решение _у = 0 системы
§ = Ay + f(t,y)
устойчиво по Ляпунову при t-+ оо.
4. Пусть для приведенной системы
ddXf = X(t,x) (X (t, 0) =0), (а)
где х = {хи хп), X (t,x) ? Ofc. 01 (t с 4 X I! х'\ < Н),
существует поло-
жительно определенная квадратичная форма
V(х) = (Ах, х),
полная производная которой Йа (t, х) в силу системы (а)
удовлетворяет
неравенству
Va (t, х) sS - (fi х, х), причем - (В х, х) - отрицательно определенная
квадратичная форма (Л и В - постоянные симметрические (га X га) -
матрицы). Тогда для возмущен-
ной системы
'~ = Х (t, y)-\-Y (t, у), (в)
где
Y (t, у) С С'0- 01 Ч ? /, X Цу\<Н) и У (t, у) !! SC TV I! у j!, если
постоянная Липшица N - достаточно мала, то ее тривиальное решение >i = 0-
асимптотически устойчиво при t -* оо. Доказать.
5. Пусть
dx л I ^
~dt=Axrf(t,x), (*¦)
где А- постоянная (га X /г)-матрнца, Re >.,(/!)"? - а<0 (у =1,
..., га) и
f(t, х)? С (If X ; х ;| < И), причем
I /(*, л)
(а > 0, Э > 0, М>0--постоянные). Тогда, если з < Ala, то тривиальное
решение лс = 0 системы (ф*) асимптотически устойчиво (R а ш а г k i s с h
п а).
6. Пусть
/J х
-dt = А (t) x + f(t, х), (***)
где A (t) ?С [/"о, со) и f(t, х)^С (Ij X М jc ij < И).
Если a) \[f(t, jc) j j =sS л it) || х |J;
б) (0] V- (t) U= 1. •••> я), где
в)
^5 (0 = у [A (t) + Ar(t)];
\ [*¦ ({) + f* (01 dt = - со, А"
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАЗЕ IV 321
то тривиальное решение дс = 0 системы (***) асимптотически устойчиво в
целом (Wong).
7. Пусть
dx
¦w = X(t,x) (*(0,jc) = 0) (А)
II
dx ~ -v
w = X(t, х) + R(t, x), (В)
где X(t, х), R(t, x)?Cf*\Z) и Z = If x (\\x \\ < h).
Если существует положительно . определенная скалярная функция
V (t, дс) ? (Z), удовлетворяющая в Z условиям:
а)
(х) < V (t, х) s? Wt (х), V (t, x)^-W, (дс),
где W/, (дс) (k = \, 2, 3) - положительно определенные функции;
б)
dv
sup
dxj
:со (/ = 1, л),
то тривиальное решение дс = 0 системы (А) устойчиво при постоянно
действующих возмущениях R (t, дс), т. е. для любого е>0 (0 < г < h)
существует о = 5(е)>0 такое, что из неравенств
II (^о) [| < s. II R V, х) |] < S при t^sto, IMI<s
вытекает неравенство
|| х (t) || < е для всех t :> t0
(Малки н).
8. Пусть
dx
St=f^ х) (f((¦ x)?Ctx{It X ё^")),
причем
II f(t, ДС)||=?=Х")(r) ( [| ДС |j),
где X (t) (0^t<co) и tp (г) (0 < г < со) положительны, непрерывны и
таковы, что
со со
^ >• (О " <оо.
Тогда решение х {t; t0, дс0) равномерно ограничено, т. е. sup || дс (/";
t0, дс0) ||s
I
¦ С (/•") < со при 0 t < со и || х01| ^ г0 < со (В и н т н е р).
9. Пусть
x + f(x, X) X + gix)=e{t), где fix, Х-), g(x)?C (<М2) ч e(t)^C [0, со).
11 Б. П. Демидович
322
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
(ГЛ. IV
Если a) f (х, ?) 5= 0; б) G(x)=^g (?) rf? > 0 при л* ф 0 и С? (л-) - со
при
оо
| jf | -> со; в) ^ | е (t) \ dt < со, то каждое решение х (t) предельно
