Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
условно устойчиво при t оо, если в <Мх существует fe-мерное многообразие
Sk^Z>(t0) начальных значений (1 ^k<^n) такое, что для всякого решения x =
x(t), подчиненного условию:
x(U)^Sk" ||х(*о)-М*о)||<&(0,
будет выполнено неравенство
II X(t) - l(t) (I <е при t^tn.
Условная устойчивость называется асимптотической, если, сверх того,
II X (() - | (0 || -> 0 при ?-> со,
где
ll*(*0)-S(*o) II <д
(Д - некоторая положительная постоянная).
Рассмотрим квазилинейную систему (/ f
aft = Ax±y{i, X), (4.22.2)
где А - постоянная матрица, имеющая k(\^k<^n) характеристических корней с
отрицательными действительными частями, причем ф (/, jc) = о (jc)
равномерно по t.
Обобщенная теорема Ляпунова (см. [13], [28]). Пусть матрица А имеет k
характеристических корней с отрицательными действительными частями и (п -
k) характеристических корней с неотрицательными действительными частями,
причем вектор-функция ф (t, х) непрерывна по t при t^O и удовлетворяет по
х условию Липшица:
|| q>(t, х') - ф (t, X) || L || х' - X || .
(4.22.3)
(||*1<a, ||*||<д, fssO),
где L = L(h) и L-*- 0 при Д-^01). Тогда тривиальное решение л: = 0
системы (4.22.2) условно асимптотически устойчиво относительно некоторого
k-мерного многообразия Sh начальных значений.
*) Для дальнейших рассуждений существенно, что константа Липшица L может
быть выбрана достаточно малой.
§ 22] УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 315
Доказательство. Без нарушения общности рассуждения можно принять t0 = 0.
Положим
х ~Су,
где действительная неособенная матрица С такова, что С~'АС = В = diag (N,
Р),
причем
Re МАО <0 (j=l,...,k)
ReX;(P)^0 (j = k+l, .... п).
Тогда система (4.22.2) примет вид
% = Ву + ъа, У), (4.22.4)
где
я|>(*. у) = С~1 <p(t, Су).
Полагая
L1= || С"1 || || С || L,
очевидно, имеем
|| ty(t, у') - tf(/, у) || ||у - у || для 0, (4.22.5)
если только ||j>||<C^i и НУ ||<Сдь гДе Д1 = д/ II С II •
Пусть ^^>0 произвольно мало и а^>0 таково, что
а + p<min [- Re (Л/)].
1
Тогда, очевидно, справедливы неравенства
|| eN< || *? Ке~^ t при t^O
и
|| ePt || при ts^O,
(4.22.6)
где К - некоторая достаточно большая положительная постоянная.
Положим
G(t)=ieBldiag(Ek'0) ПРИ />0' (4 22 7)
U I _ eBt diag (0, ?"._*) при /<О,
где Ер- единичные матрицы соответствующих порядков. Очевидно, G(+ 0)-G(-
0) = ?".
316 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
Из неравенств (4.22.6), учитывая, что
eBt = diag (eNt, ept),
получаем
Кроме того, очевидно, имеем
G(t) = BG(t) при /^0.
Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение
ОО
y(t, a) = Z{t)a^-\ G(t - s)ty(s, у (s, a))ds, (4.22.9)
о
где
Z(t)=eBt diag (Ek, 0) = diag(<?(tm), 0)
и a - постоянный вектор, (n - k) последних координат которого равны нулю.
Для решения интегрального уравнения (4.22.9) применим метод
последовательных приближений, полагая
а) = 0
и
ОО
yp(t, a) = Z{t)a + \ G(t - s)i|"(s, yp.i(s, a))ds (p = 1,2, ...).
о
(4.22.10)
Выберем число Д столь малым, чтобы было выполнено неравенство
1 ^ 4 К'
и пусть
||а||<-^=а0.
Тогда, учитывая первое из неравенств (4.22.6) при t^O, будем иметь
\\у (t, а) || ^ || Z (0 || || а || КеА°+9М || а К || а Ц .
Пусть
\\yp(t, а) - ур_1 (t, a)IK-^r l|e||e"*f при *5s0(pS=l). (4.22.11)
§ 22] УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 317
Из формулы (4.22.10), используя неравенства (4.22.8), выводим ,\УръЛ*,
a)-yp(t, а) !|
со
==? 5 i! G (t - s) II • [; (s, yp(s, a)) - If (s, ур Л (s, a)) 11 ds
0
2PTl -I Э ~ 2P+1 1 и a-f3
^2(r)rl!e|ie'Htt(1 + -§-||a | |е"м при /^0.
Отсюда заключаем, что все приближения а) имеют смысл,
причем неравенство (4.22.11) выполнено для всех натуральных р.
Следовательно,
У pit, а)^У((, а)
на [0, со) при р->-оо, причем предельная вектор-функция у (t, а)
непрерывна по совокупности переменных t и а при 0</<^оо и
If a J <""•
Переходя к пределу при р-+со в формуле (4.22.10), будем иметь
СО
y(t, a) = Z{t)a-\-\G{t - s)ty{s, у (s, a))ds, (4.22.12)
т. е. предельная функция у (t, а) является решением интегрального
уравнения (4.22.9). Дифференцируя последнее равенство по параметру t,
находим
t
a) = BZ{t)a~y\BG{t - s)^(s, у (s, a))ds-\-
0
со
-f ^ BG (t - s) (s, у (s, a)) ds -f
+ [G (+ 0) - G (- 0)] if (t, у (t, a)),
т. e.
Уt^, a) - By it, а) + Ч>(Л У it, a))
и, значит, у (t, а) является решением системы дифференциальных уравнений
(4.22.4).
318 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ( ГЛ. IV
Используя неравенства (4.22.11), получаем
СО
IIУ (*, a) ll =s? HjVo (t, в) || + 2 IIУР (t, ¦ а) -ур_, (t, а) !| ^
р= I
00 А'
11 а IIe al - 2/( ji а |] е~'л.
р== 1
Отсюда
limjy^, а) = 0.
t -> со
Таким образом, y(t, а) при j|aj|<^a0 представляет собой многообразие
решений дифференциальной системы (4.22.4), непрерывно зависящее от k
параметров аи ..., ак - первых k координат вектора а и стремящихся к нулю
при t-> оо.
Из уравнения (4.22.12), учитывая структуру (4.22.7) матрицы G(t), для
координат yj(t, а) (/= 1, ..., п) решения у (i, а) при t = 0 будут иметь
следующие выражения:
yj(0, a) = cij (/'=1, ..., k)
И
оо
yj(0,a) = [\ G(~s)\|>.(s, y(s, a))ds]j. (/ = A + 1, .... n),
