Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Va(t, x) = Vb(t, х) =
-= [(1 + 0 II у (to, you4]} t=,. (4-9-3)
где yx-y(t; t, jc). Но точка y(t<s\ i, yj лежит на траектории Г,
проходящей через точку (t, х), и Следствие теоремы единственности точка
ее выхода на гиперплоскость t - t0 совпадает со следом у (to\ t, х)
траектории Г (рис. 35), т. е.
У (tol Vr)=y(tо, t, X) (4.9.4)
при ^=^Т<^00.
Таким образом, из формулы (4.9.3) получаем
VAt, х)= ИЯ*"; ^ *)113[^0+0]т^ =
= -*' *\\ y(to; t, лг)|!2<0 (4.9.5)
при хфО и Va(t, 0) = 0, т. е. производная V (t, х) в силу системы (а)
знакоотрицательна.
Покажем, что функция V (t, х) - положительно определенная в области t0^ I
<^со, ||лг||'<^Л. Так как тривиальное решение
1 = 0 как системы (а), таки системы (Ь) устойчиво по Ляпунову, то
существует &^>0 (5<[ssS/i) такое, что при t0^t<^co имеем
|| л: (t; t0, х0) II = || у (t; t0, лг0)[К>, (4-9.6)
если только ||лг0||<8. Тогда, если 0 <s < || л:0 || </г, то
256 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [1'Л. IV
Действительно, если бы
|| y(t0; t, лг0)||<о для некоторого t>r ttus
то
||y(t; t, лг") || <s при t^U.
Отсюда, полагая t=t, мы бы имели
II J' (i> *, х0) || = || xv || < г,
что противоречит выбору лг0 (рис. 36).
Кроме того, на основании формулы (4.9.1) в силу свойства единственности
решений системы (Ь) имеем
II^(^о; t, х0) || <Н при || лг0 || </г. (4.9.8)
Из формулы (4.9.2) получаем
V (t, j?r0)>3- = 7j при ||л:" || </i. (4.9.9)
Полагая s = ~ ,..--- ~уполучим последовательность положительных чисел Tj,
т]., ]> ... 7j" 0 таких, что
V it, х)'>у\п при
п _|- 1
(п= 1, 2,...). Отсюда следует, что существует непрерывная
положительно определенная функция W (х), удовлетворяющая неравенству
V (t, х) 5s W (х) > 0 при хфО.
Например, можно положить
W (х) = %+i + (цп ~ %+!) ( || Ц -
при
п+ 1
*11 <" ("= 1, 2, ¦¦¦)¦
УСТОЙЧИВОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
'257
Следовательно, функция V (Г, х) - положительно определенная. На основании
известной теоремы о гладкости решения у (t; г0,_у0) по начальным данным
ta, ул (см. [9]) функция V (t, х) непрерывна по совокупности переменных t
и х и имеет непрерывные частные dV dV ,
производные^-и gj (/=1,..., п), причем
при t ? [*", оо) и II JC II </i.
Теорема доказана.
§ 10. Устойчивость квазилинейных систем
Рассмотрим действительную дифференциальную систему
йЛ = АхЛ~ ?(*, х), (а)
где А - постоянная матрица и ср (f, х) ? С (0 sg t
оо,
лгЦ^Я)1), причем tp(t, х) = о (|| jc ||) равномерно по t,
т. е.
при л: ->0 (4.10.1)
И Х II {
0 л? ||-евклидова норма вектора х).
Систему (а) будем называть квазилинейной; очевидно, эта система допускает
тривиальное решение л: = 0.
Теорема Ляпунова. Если все собственные значения ^j(A) (j=\,...,n) матрицы
А имеют отрицательные вещественные части:
Re\j(A)<0 (У = 1.............................п), (4.10.2)
то тривиальное решение jc = 0 квазилинейной системы (а) асимптотически
устойчиво по Ляпунову при tсо.
Доказательство (см. [10]). Пусть |(t, х) - действительное решение
соответствующей линейной системы
Й=Аъ <ь>
определяемое начальным условием:
1(0, х) = х.
') Для простоты принимаем t0 = 0.
9 Б. П. Демидович
258 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА | ГЛ. IV
Если Е (t) - нормированная фундаментальная матрица (матри-цант) системы
(Ь) такая, что
Е(0) = ?,
то, очевидно, имеем
l(t, x) = E(t)x. (4.10.3)
Из условия (4.10.2) вытекает (см. гл. 1, § 13), что || Е (t) || sg Ne~at
при iSsO, где шах Re Ху- (А) - а<^0 и N - некоторая положительная
по-
стоянная. Отсюда
|| g (t, х) || Ne'^ || л: || при fSsO. (4.10.4)
Рассмотрим функцию
СО
У(*) = $ US (г, х)\\Ых. (4.10.5)
о
Из (4.10.3), используя известные свойства скалярного произведения, имеем
ОО
V (-*:) = У (2(т)лг, Е(х)х)dx =
и
со
= 5 (Е7 (т) S (т)л:, x)dx-(Sx, х), (4.10.6)
о
где
СО
S = \ET(x)E (х) dx,
о
а Е7(т)- транспонированная матрица относительно матрицы Е(т). Таким
образом, V (х) представляет собой квадратичную форму относительно
переменных хх,...,хп с действительной симметрической матрицей S.
На основании неравенства (4.10.4) интеграл в правой части равенства
(4.10.6) сходится и, следовательно, функция V (х) определена и конечна
для каждой точки jt причем в силу
свойства единственности решений системы (Ь) имеем
V (х) >0 при х Ф0
и
V(0) = 0.
1U]
устойчивость квазилинеиных систем
259
Используя так называемое групповое свойство решений автономной системы
(Ь) (рис. 37)
К*, l(t, jc)) = iU + T, х),
получим
со
х)) = \ II IK lit, x))fdz =
о
со со
= 5 \\l(t + Z, X) -dz = :\ lIKt, х. -dx.
Найдем теперь производную по времени t функции V (х) в точке х в силу
системы (а). Имеем
(4.10.8)
Vа (х) = (grad V, Ах)-\- (grad V, (r) (*, х)) =
= Vb (-V)-Ь (grad V, <s(t, л:)).
Полагая
s = [s/a] и х = colon (х,.........хп),
из формулы (4.10.6) находим
V (x)='^lSjkXjX!t (S;-A = Sjty).
i. *
Отсюда
grad V = colon ............~) =
s \dxt ' dxn)
= 2 colon (2 Snxk............2 = 2*Sx.
A к
Кроме того, из условия (4.10.1) получаем
260 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (ГЛ. IV
при || х || sc h= Н, где г^>0 произвольно мало. Следовательно, из формулы
