Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
II* (/о) Ц <? = 8,
где е^>0 произвольно, из неравенства (4.8.1) имеем
|| X (/)'Ц <е при /За/о,
т. е. решение 1 = 0 устойчиво по Ляпунову. Кроме того, очевидно,
lim x(t) = 0, t -* 00
если только || х (/<,) || <^h.
Если неравенство (4.8.1) справедливо для всех точек х (/0) ? G то
имеет место асимптотическая устойчивость в целом.
Из неравенства (4.8.1) следует, что если тривиальное решение | = 0
системы (4.7.1) экспоненциально устойчиво, то близкие к нему решения х
(/) этой системы имеют характеристические показатели удовлетворяющие
неравенству
х[*(0]^-"<о.
Аналогично определяется экспоненциальная устойчивость нетривиального
решения. А именно, решение %(t) экспоненциально устойчиво, если близкие к
нему при / = /0 решения x{t) удовлетворяют неравенству
II X(t)~l (t) \\^N\\x (h) ~ I (/") II r>"-" (/ 3* /"),
где N и a - некоторые положительные постоянные.
Лемма. Если тривиальное решение однородной линейной системы
"ш^Ах (4.8.2)
с постоянной матрицей А асимптотически устойчиво при
I -> - с/., то эта система экспоненциально устойчива, т. е. каждое ее
решение экспоненциально устойчиво при /->-)-оо.
252 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ IV
Доказательство. Как известно (гл. II, § 8), тривиальное решение 1 = 0
системы (4.8.2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все
характеристические корни Хр(Л) матрицы А имеют отрицательные вещественные
части:
Re>.p04)<0 (р = 1, ..., п).
Положим
min Ке>-р(Л)<^ - а 0.
р
Тогда при t^O получим (гл. I, § 13)
|!ем||<Мг-"', (4.8.3)
где N - некоторая положительная постоянная. Из уравнения
(4.8.2) для любого решения x(t) находим
x(t) = e(t~'"sAx(t о),
где начальный момент t0 произволен.
Следовательно, на основании (4.8.3) при t^ta получаем
11 x(t) jj ^ N |1 x(i0) ||
Отсюда для любого решения ? (t) однородной системы (4.8.2), учитывая, что
разность x(t) - |(t) есть решение этой системы, при t^to будем иметь
11 x(t)~l (t) |1< N и * (f0) - 1 (f0) || e-,
что н требовалось доказать.
Замечание. Для линейной системы с переменными коэффициентами из
асимптотической устойчивости ее тривиального решения, вообще говоря, не
следует экспоненциальная устойчивость.
Пример. Для скалярного уравнения dx л:
(1^<со)
его общее решение имеет вид
Таким образом, решение ? = 0 этого уравнения асимптотически устойчиво при
t -* со, однако не является экспоненциально устойчивым.
Теорема. Если существует положительно определенная квадратичная форма
V(x) = (Ax, х), (4.8.4)
* v ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 253
производная которой V (х) в силу приведенной системы (4.7.1)
§ = X(t, х) (X(t, 0) = 0) удовлетворяет неравенству
V (х) ==? W (х) (4.8.5)
X :/;<//),
где
W(x) = - (Вх, х) (4.8.6)
- отрицательно определенная квадратичная форма (А и В - постоянные
симметрические матрицы), то тривиальное решение | = 0 этой системы
экспоненциально устойчиво при t->-f-oo.
Доказательство (см. [16]). На основании формул (4.8.4) и
(4.8.6) получаем
а (х, х) V (х) sS а, (х, х)
п
Ь(х, X)=s?-W (х) ==? (х, X),
где
а = пипХр(Л), а{ = max Хр(А) р р
и. соответственно,
/"=ттуВ), 61 = maxXp(fi),
р р
причем 0<^asga! и 0<db
Отсюда на основании неравенства (4.8.5) выводим
?"-"<х.
Интегрируя это неравенство, будем иметь при t^t9
V (х (t)) ==? V (х (10))е~2а{'-'°', где я = ~. Далее, используя
евклидову норму
1!*!Р = (*, х),
при t^i0 находим
II * (9 II* ^ ~ V (х (t)) ^\\х (t0) ||* т. е. при t^t0,
|| де(^о) ''^N\\x(U)
где
n=Y%
и !| х (t9) || достаточно мала.
'254
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
§ 9. Теорема Персидского
Имеются многочисленные работы (см. [16]), посвященные обращению теорем
Ляпунова, т. е. выяснению необходимости условий этих теорем. Мы изложим
здесь один старый результат в этой области, принадлежащий К. П.
Персидскому (см. [43]).
Теорема Персидского. Пусть приведенная система
допускает тривиальное решение 1 = 0, устойчивое по Ляпунову-при сю.
Тогда для системы (а) в области
существует функция Ляпунова V (t, х) (ЕЗД1' 1~го рода, т. е.
удовлетворяющая условиям первой теоремы Ляпунова об устойчивости.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную систему
где Y(t, y) = X(t, у)у(у), причем ср (у) С1 (<М^) - скалярная функция,
удовлетворяющая условиям:
Пусть x(t\ t0, х") и y(t; t0> у0) - решения, соответственно, систем (а) и
(Ь), определяемые начальными условиями: x(t0; t0, х0)=Хо и y(t0; t0, J>o)
= JV
Из условий (4.9.1) вытекает, что решения у (t\ t0i у0) можно считать
определенными на полуоси t0 sg t sg со и обладающими свойством
единственности.
Фиксируя t0, рассмотрим функцию
где норма вектора у = (у%,..., уп) понимается в смысле евклидовой нормы:
(а)
где
со,
X II <Я<со),
х || <^h<^H
(b)
(4.9.1)
V (t, x) = (\ + e ') || j/(?0; t, jtr)|j
(4.9.2)
jc || < H)
У II4 = (У, У) = 2 у}-
5 91 ТЕОРЕМА ПЕРСИДСКОГО 255
Пусть t^t<i и || х || <[Л. Тогда на основании условия
(4.9.П
правые части систем (а) и (Ь) совпадают и, следовательно, для полных
производных функции V (t, х) в силу систем (а) и (Ь) имеем
