Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Считаю своим долгом поблагодарить доц. Н. П. Купцова, осуществившего
компетентное научное редактирование рукописи книги и внесшего в нее ряд
ценных дополнений и существенных исправлений.
Приношу благодарности также И. Е. Морозовой, проделавшей большую работу
по редактированию книги.
Москва, 1967 г.
Б. П. Демидович
ОБОЗНАЧЕНИЯ
х 6 X - х есть элемент множества X; х ? X (х (? X) - а: не является
элементом множества X;
XCZY - множество X составляет часть или совпадает с множеством У, т. е.
каждый элемент х ? X есть также элемент множества Y;
X(?Y-множество X не является частью множества Y, т. е. существует элемент
х* ? X такой, что х* ? Y;
^х?Х - существует элемент х множества X;
\/х ? X - все элементы х множества X;
\JXa - объединение (сумма) множества X*;
а
Г)Ха - общая часть (произведение) множеств Ха;
а
X\Y - разность множеств X и Y, т. е. совокупность всех элементов х? X
таких, что х ? Y;
{ х : f(x)<^a } - множество всех точек х, для которых выполнено
неравенство f(x)<^a;
(а, Ь) - интервал а<^х<^Ь\
[а, Ь] - сегмент (отрезок) а^х^Ь;
[а, Ь) и (а, b] -полусегменты as^x<^b и а<^х^Ь\
Rez = *, Imz=y- действительная и мнимая ча.сти комплексного числа z - x-
\-iy. (i = Y~ 1);
z = x - iy - сопряженная величина для числа z;
| z 11= V"(Re z)s -(- (Im z)a - модуль числа z;
A=(ajk)- матрица с элементами aJk;
Ат = (ак])- транспонированная матрица А;
А* = (ак]) - эрмитово-транспонированная матрица А\ det А - определитель
матрицы А;
|| А II - норма матрицы А;
SpA = ?a// - след квадратной матрицы А;
diag (Ль..А ) .
А, 0
О А,
- квазидиагональная матрица;
10 ОБОЗНАЧЕНИЯ
\Xl
Colon (jfi,. • •, Xn) = ;
lxn
матрица-столбец;
X X У-декартово произведение' множеств X и Y, т. е. совокупность всех пар
(х, у), где х?Х и у ? У;
- комплексное n-мерное векторное пространство Ох, ... хп, т. е.
множество всех упорядоченных n-мерных комплексов х = = (хи..., хп) (точки
или радиусы-векторы пространства), где х- = -\-Щ] (1 = 1,..п) -
комплексные числа (координаты
вектора jc);
(х, y) = 2jXjyj - скалярное произведение векторов х и у,
i
&пх - действительное n-мерное пространство О*!.. .хп\
\\x\\ = Y(x, х) - евклидова норма вектора х; р (jc, у) = |! х -у || -
евклидово расстояние векторов х и у; f (х) ? С (D) - функция f(x) = f
to,..хп) непрерывна в области
D С 9^;
/ (лс) ? Cm (D) - функция f(x) = f(xu хп) непрерывна в действительной
области D CZ вместе со своими частными производными
dai +---+anf . _п.
-------- (ajSsO,ал=&0)
дх i... дх"п 1 л
до порядка .. .-\~а.п = т включительно (С° = С);
/ to,..., хп) С С(У'' ''m'")(D)-функция / to,.. .,хп) имеет в области
1" • • •" П
D С непрерывные частные производные
dai+ ¦ ¦ ' +anf ...дх\п '
где 0^а!^ть 0*s?a"^m";
/(jc)gLip - функция f(x) удовлетворяет условию Липшица.
ГЛАВА I НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Арифметические действия над матрицами
Определение 1. Под матрицей А = (ajk) типа тХл (или, короче, (тХ^)-
матрицей) понимается система действительных или комплексных чисел (или
функций), записанная в виде прямоугольной таблицы:
¦a-in
&т\ •
(1.1.1)
Числа (функции) ajk называются элементами матрицы А, причем первый индекс
j есть номер строки, а второй k - номер столбца (см. [1]).
Матрицы
х|
: Colon (j?j........
У = [У1....Уп\
типа mX 1 и 1Х" называются, соответственно, вектором-столбцом и вектором-
строкой.
Матрицу А = (аи) типа 1X1 принято отождествлять с числом (скаляром) а,,.
Если А - квадратная матрица, то под det А будем понимать ее определитель.
Определение 2. Матрица (1.1.1) называется нулевой и обозначается
А =0,
если ajk = 0 для всех допустимых / и k (/=1........... k=\.......n).
Две матрицы А = (ajk) типа т X п и В - {bjk) типа т' X п' считаются
равными:
¦4 = В,
12 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ. Г
если 1) они имеют одинаковые типы, т. е. т' = т и п' = п, и
2) V *) ajk = bjk, т. е. каждый элемент матрицы А равен
соответствующему элементу матрицы В.
Определение 3. Сумма и, соответственно, разность двух матриц Л = (a,ft) и
В -(bjk) одинаковых типов определяется формулой
А ± В = (ajk ± bJk).
Очевидно, имеет место переместительное свойство
Л + В = В + Л.
Если Л, В и С - матрицы одинаковых типов, то по определению полагаем
Л + В + С = (Л+В) + С,
причем
(Л + В) + С=Л + (В + С).
По индукции можно определить сумму любого конечного числа матриц
одинаковых типов.
Определение 4. Под произведением матрицы A = (ajk) на число а понимается
матрица
Аа - чА =(wjk).
Если А и В - матрицы, а а и р - числа, вообще говоря, комплексные, то
очевидны свойства:
1) (а + р)Л=аЛ+рЛ;
2) а (Л + В)=г*Л +аВ;
3) а(рЛ) = (оф)Л;
4) М = Л;
5) о А = О.
Матрица
-В = (-1)В = (-Ь,к)
называется противоположной для матрицы B - (bjk). Очевидно, имеем В-\-(-
В)=0 и
А ~В = А + (-В).
Заметим, что если А - квадратная матрица порядка п, то det (<*Л) = а" det
А.
*) Символ у обозначает "все".
§ Ц АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 13
Определение 5. Под произведением матриц А = (а,А) типа т'Хп и B = (bJk)
