Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
этом
Arg (tio - ay + фу) |ш=+00 = lim arg (tio - aj + фу) =
со-*-(-со
=Ii+Jargt4o + arg(1 = ^ ^=1......P) (2-Ю-7).
при ay ф 0.
§ 10] КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА . 105
Рассмотрим/теперь поведение Arg (iu>-ау- i$j) при ">^>0. Если "> = Ру - 0
0, то получаем
Arg (г'"> - а,- - t'Py) |ш=р -о .= lim arg (-ау - гею) =
' е -00 >-
О при а;<^ О,
к при ау>0.
Если же "> ру -1- 0, то в силу свойства непрерывности Arg г
следует положить
f arg (tw - а,- - г'З/) при а,- <Г О,
Arg (," - ", - i'M = { _ 2, + arg _ ih) пр" ". > о.
Отсюда
Arg (tw - ау - гру) с
у, еслиау<^0,
, (2.10.8)
- у, если а,- 0.
Таким образом, из формул (2.10.7) и (2.10.8) находим
{ Arg (tw - *у + г'Ру) "р Arg 0'" ay - $у)} |ш=4-со =
tz, если */<^0,
- те, если ау^>0.
Следовательно,
АГ [Arg (t'w - ay -|- t'^y) Arg (t") - ay t^y)] =
= {Arg (t") - ay + t'Py) + Arg (tw - ay - $/)} j""ob°° = л, если a.-
'cT'O,
(/=!.•••. P)- (2-10.9)
it, если ' ay 0
Пусть теверь гк - - ненулевой действительный корень по-
линома f (г). Имеем
f 0, если т* <Г О,
Arg (i<*> - т*) U=o = arg( - 7*)=|
{ л, если т*>0,
и
Arg (/со - т*) |ш=+ю = lim arg (ио - Tft) = .
O) -¦ GO Д
Поэтому
у, если Tft < 0.
Аг Arg (tw - т*):
(*=1,..., ?). (2.10.10)
106
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
Из формул (2.10.9) и (2.10.10) вытекает, что каждый корень с
отрицательной вещественной частью стандартного полинома f (г)
обеспечивает при 0 "S w ^|- со поворот вектора f (/">) "в среднем"
на а каждый корень этого полинома с положительной ве-
щественной частью создает лри 0 ^ ^ -)- оо поворот вектора f(iw)m
среднем" на -у.
Пусть т - число корней нашего стандартного полинома f (г) с положительной
вещественной частью. Тогда число корней этого полинома с отрицательной
вещественной частью ввиду отсутствия чисто мнимых корней равно п - т.
Поэтому для суммарного поворота вектора f (г'ш) при 0 w ^ оо получаем
следующее выражение:
Ф = (/г - т)^ + m(- = - 2т)
что и требовалось доказать.
2) Пусть теперь для стандартного полинома f (г) степени п без чисто
мнимых корней угол поворота при Osgwsgoo вектора / (т) определяется
формулой (2.10.2) и т - число его корней с положительной вещественной
частью. Тогда согласно доказанному имеем
Ф = у(л -2<й). (2.10.11)
Сравнивая формулы (2.10.11) и (2.10.2), получаем
m = m,
т. е. в этом случае полином /(г) имеет в точности т корней на
положительной полуплоскости 4?ег]>0.
Лемма доказана полностью.
Критерий Михайлова. Для того чтобы стандартный полином f (г) (2.10.1), не
имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо
и достаточно, чтобы угол поворота против хода часовой стрелки
вектора / (т) при Osgwsgoo
был бы равен
Ф = ул, (2.10.12)
где п - степень полинома (/г 2=1).
Действительно, полагая т = 0 в формуле (2.10.2), получим соотношение
(2.10.12J.
5 10] КРИТЕРИЙ. МИХАЙЛОВА 107
Следствие. Если для стандартного полинома степени п имеет место
неравенство
то f (г) не к яется полиномом Гурвица.
Замечание. Если стандартный полином /(г) есть полином Гурвица степени п,
то, как следует из формулы (2.10.4), вектор /(ice) при O^cosgoo монотонно
поворачивается против хода
часовой стрелки на угол -у. Так как f(0) = a0^>0, то годограф Г Михайлова
полинома /(г), выходя из точки а0 положительной полуоси Ree^>0, при
OsgtosSJoo будет последовательно пересекать полуоси 1тг^>0, Ree<^0,
1тг<^0, ..., проходя через п квадрантов.
Обратно, если годограф Г Михайлова стандартного полинома /(г) степени п
без чисто мнимых корней, выходя из точки /(0) = а0^>0 положительной
полуоси Ree^>0, при 0<^o>sgoo последовательно по одному разу пересекает л
- 1 полуосей 1тг^>0, Ree<^0, 1тг<[0, ..., асимптотически стремясь к п-й
по счету
г / ¦ \ nv.
полуоси, то угол поворота вектора /(""), очевидно, равен -у и,
следовательно, полином / (г) есть полином Гурвица. На практике это
обстоятельство можно проверить, построив граФчк годографа Г полинома
/(г).
Пример. Пользуясь, критерием Михайлова, получить условия Гурвица для
полинома
f (z) = z3 -\-pz3 qz-^r (2.10.13)
{р, q, г действительны). Имеем
/("") = (- P"s + г) + (- "2 + ?)¦
Отсюда точки пересечения годографа Г (0 scr. ш со) полинома f (z) с
полуосями Rez>0, Im z :> 0, Rez<0 последовательно суть /ш* (fe=0, 1,2),
где
"o = 0, <*s = Yq.
Так как м, и должны быть действительны, то
~>0 и ?> 0. (2.10.14)
Далее, имеем
/¦(<" о) = Г,
f^)=iVrp{q-rp)'.
f(ia%)=-(pq - r).
Отсюда, учитывая направления векторов/(("*) (k = 0, 1, 2, ...) для случая
полинома Гурвица, находим
г> 0, q - ~->0. РЧ - г> 0- (2.10.15)
108 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
Сверх того, полагая Arg/(i") = 0 при <о = 0, очевидно, получаем
lim Arg/(i<o) = ~.
Ш-+ + 00 ^
Объединяя неравенства (2.10.14) и (2.10.15), получим искомые условия
Гурвица:
р>0, <7> 0, 0 crcpq, (2.10.16)
что согласуется с результатами, полученными ранее (дм. § 9, пример 1).
§ 11. Леммы Гронуолла - Беллмана и Бихар и
В дальнейшем будет выгодно использовать две леммы об интегральных
