Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
и
ОО
н=и spHi.
Р=о
КРИТЕРИЙ ГУЬ-ВИЦА
97
Рассмотрим стандартный полином
f (z) = а0 -f- a\Z -[-••• -j- апгП,
где а0>0, а"у^0 (пё= 1).
Составим (п X ")-матрицу Гурвица
(2.9.19)
М,=
а,
"з
ао
а%
О
а,
О
а"
Щп-1 а1п -2 а2п 3 а2л-4 •
.. о-
.. О
• а".
(2.9.20)
где принято а5 = 0 при s<^0 и s^>n.
Теорема Гурвица. Для того чтобы стандартный полином (2.9.19) являлся
полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все
главные диагональные миноры
Л, = а, > О,
а\ а0
а3 аг
>0,
(2.9.21)
его матрицы Гурвица Mf (условие Гурвица).
Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий Гурвица
(2.9.21), т. е. покажем, что если / (г) ? Нп, то условия Гурвица (2.9.21)
выполнены. Для доказательства применим метод математической индукции (см.
также [15]).
При п = 1 имеем
/ (z) - а0 -4- at2,
причем если /(г) ? Ни то а0^>0 и а, ^ 0. Так как коиень г,= = - ac/a,
<^0, то условие Гурвица
Л, = а,>0
выполнено.
Пусть теперь для всех полиномов f (г) ? Нп теорема справедлива и F (г) ?
#"+1. На основании леммы 2 полином F (г) можно рассматривать как
присоединенный для некоторого стандартного полинома / (г) ? Нп, т. е.
где
F(2) = (l + 2C2)/(2)+/(- 2), a = 2с 0.
(2.9.22)
4 Б.. Г1. Демидович
98 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Положим
[ГЛ. II
где
тогда
f (г) == а" -(- z -•. - -ап г", Оо>,0. "1>0........... а"'> 0;
л+1
dk
ft=0
]д
где а_1 = ал+1 = 0.
Составляя главный диагональный минор k-то порядка матрицы Гурвица
полинома F (г), будем иметь
Dj - 2 са0 > 0
Dft+1 = 2ft+1
В о a# 0 0
CCk сах + <h ca0 do .. •
са& c<hk- C(hk-4i caik-s Ч- a2ft-2 • • ¦
.(* = ¦1 n).
Отсюда, вынося за знак определителя общие множители с элементов нечетных
столбцов (первого, третьего и т. д.); а затем вычитая из элементов четных
столбцов (второго, четвертого и т. д.) соответствующие оставшиеся
элементы нечетных й вынося за знак определителя общие множители с
преобразованных элементов четных столбцов, находим
a# 0 0 0 ...
DftHl = 2ft+1cft+1 Qg <Zi a# 0 ... =aft+1a0Aft
au aik-3 ¦ • ¦
п),
где Д* - главные диагональные миноры матрицы Гурвица М} полинома f (z).
Так как для полинома /(z)?tf" согласно индукционному предположению
выполнены условия Гурвица, то
Д*>0 п).
Поэтому, учитывая, что а0^>0, имеем
?>*+!>0 (6 = 0, 1.... п),
что и требовалось доказать.
§ 9] КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА 99
2) Докажем теперь достаточность условий Гурвица, т. е. покажем, что
если для стандартного полинома f(z) выполнены условия Гурвица, то
f(z)?Hn.
Для п = 1 теорема, очевидно, справедлива, так как если
f(z) = a0 + atz,
где а0^>0 и Ai = a,^>0, то корень полинома
z1 = -^<0.
Пусть теперь теорема верна для всех полиномов f (z) ? Нп и F (z) = А0 A\Z
^ i4"+iZn+1
- некоторый стандартный полином степени п 1, для которога выполнены
условия Гурвица:
= At 0,. • •, Dn+1>0.
В силу замечания к лемме 2 этот полином можно рассматривать как
присоединенный к некоторому стандартному полиному
f (z) = а0 + ajz +... + anzn
(а" 0, ап Ф.0) степени п. Так же как при доказательстве
первой части теоремы, получаем, что главные диагональные миноры Д*
матрицы Гурвица Mf удовлетворяют соотношениям
?ft+i=*ft+1a<A>0 (6=1, 2,..., п),
где а^>0. Отсюда
Д*>0 (к=\, 2,..., п),
т. е. для полинома f (z) выполнены условия Гурвица. А так как по
предположению теорема верна для всех стандартных полиномов степени
п, то f(z)?Hn. Таким образом, полином F (z)
является присоединенным к стандартному полиному Гурвица f{z)r
и, следовательно, на основании леммы 1 имеем
F(z)?Hп+1.
Теорема доказана полностью.
Замечание 1. Если
f(z) = a0 + aiZ + ... + anz'* (2.9.23)
есть стандартный полином Гурвица, то имеем
Кг) = Ъ'(±).
где
g(z) = a0zn + a1zn-1 + ... + an (2.9.24>
- также стандартный полином Гурвица, и обратно.
4*
100
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕИНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. II
Действительно, если Zj (/= 1....... л)--корни полинома
(2.9.23) и Rezy<^0, то - (/= 1.. л)- корни полинома (2.9.24)
ZJ
Ч=т1р<0
(рис. 12). Поэтому условия Гурвица для полинома можно записывать также в
виде
(2.9.25)
До = а">0,
Ai = anJ>0,
К = ап-1 ап >0,
&п- 3 ^п-Ч
=
Рис. 12.
(2.9.26)
Замечание 2. Пусть
dx - Дх dt -АХ
- линейная однородная система с постоянной действительной матрицей А
= [a/fc] и
det(X? - А)=0 (2.9.27)
- характеристическое уравнение матрицы А. В раскрытом виде уравнение
(2.9.27) имеет вид
где
_ А,)"'1 + А+ ... + (- \)пАп = 0,
^i = 2X* = SP А>
а <Р
а,
аа" ап
Ап = det А.
Для асимптотической устойчивости системы (2.9.26) необходимо выполнение
следующих условий:
-Л,>0, Л2>0, (-1)"Л">0.
В частности, должно быть
Sp Л <0, (-l)*detA>0. (2.9.28)
вели система (2.9.26) - второго порядка (л = 2), то условия (2.9.28)
также достаточны для ее асимптотической устойчивости.
§ 9]
КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА
101
В общем случае для асимптотической устойчивости системы (2.9.26)
необходимо и достаточно выполнение условий Гурвица:
A~i = -A>0,
- At 1
__д д - - Аг^>0,
