Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 25

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 121 >> Следующая

корни, лежащие в левой полуплоскости, т. е.
(r)о (z) G Нп+1-
Пусть теперь при некотором ? ? [0, 1 ] полином Ф* (г) не является
полиномом Гурвица. Тогда по меньшей мере одна из кривых Z/ = Z/([i)
покинет левую полуплоскость и, следовательно, при некотором значении и
пересечет отрезок мнимой оси [- Ri, Ri] (рис. 11). Иными словами, при р.
^ (0, 1] полином Ф- (г) имеет мнимый корень р*, т. е.
ф; (Pi) = (1 + api) f (Pt) + (- Pi) = 0.
Отсюда
|l+api||/(Pi)| = H/(-POI- (2.9.9)
Так как значения полинома f (z) с действительными коэффициентами в
сопряженных точках гиг комплексно сопряжены, т. е.
/ (г) = Щ
то, учитывая, что коэффициенты полинома /(г) действительны и что полином
f(z) есть полином Гурвица, будем иметь
I/ (- Р01 = I / (pi) h= \Ш) I = I/ (Р0, 9^ 0.
94 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
Сокращая равенство (2.9.9) на равные, отличные от нуля величины 1 / (РО 1
и 1 / (- РО |, получим
•|1+ар"|=?,
т. е.
I + a*p*=ji*. (2.9.10)
Так как
Ф,(0) = (1 + ^)а0^0,
то р 96 0 и поэтому равенство (2.9.10) невозможно при ji [0, 1]. Итак,
F(z) = Ф, (z) G Яя+1.
Лемма 2. Для всякого стандартного полинома Гурвица степени п -(- 1
существует стандартный полином Гурвица степени п (nSsl), по отношению к
которому данный полином является присоединенным, т. е. если F (z) Яя+1,
то -существуют а 0
и / (z) G такие, что
F (z) = 5/ (z) ~ (1 + oz) / (z) + / (- z). (2.9.11)
Доказательство. Из функционального уравнения (2.9.11) имеем
F (- z) = (1 - oz) / (- z) + / (z). (2.9.12)
Исключая /(- z) из уравнений (2.9.11) и (2.9.12), получил
A*/ (z) = - (1 - oz) /=¦ (z) + /=¦(- z). (2.9.13)
Пусть
Е (2) = >40 A,z An+1zn+'
F (- z) = Л - Axz + • • • + (- l)n+Mn+1zn+1,
где Л*>0 (* = 0, 1,..., п+1).
Если выбрать
а = ^>°, (2.9.14)
то функция f(z), определяемая формулой (2.9.13), очевидно, бу-. дет
полиномом п-й степени. Легко проверить, что
Sf(z) = F(z).
Докажем, что / (z) ? Я". Рассмотрим полином
фи (z) = - (I - az)F(z) + v.F (-z) = - (1 - ц)Л0+(1 -jj^z-f--f- - (1
- (а) Л4] z2 -("••• + {a^n_i - [I - (a (- 1)"] An} zn -f
-j- {aAn - [1 - |X(- 1 )п+1]Лл+1}г"+1 +ai4n+1zn+S (2.9.15).
КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА
95
где постоянная а определяется по формуле (2.9.14) и параметр (х пробегает
отрезок [0,1]. Корни этого полинома z7 = zy(jj,) (/=1, 2,..., п-\- 2)
являются ограниченными непрерывными функциями параметра ц на отрезке
[0,1]. При ц = 0 один из корней zn+3 =
= у находится в правой полуплоскости Re z^>0, а все остальные корни Zj
(/<С" + 2) - в левой Re z<^0. Такое расположение корней сохраняется при ?
[0, 1). Действительно, если бы один из корней zy- перешел из одной
полуплоскости в другую, то кривая Zj = Zj ((а) должна была бы пересечь
мнимую ось и при некотором (х ? (0, 1) полином Ф[Г(г) имел бы мнимый
корень pi, т. е.
- (1 - ape) ^ (Pi) Н- (- Р0 = 0, и, следовательно,
|l-"pi||f(Pi)| = iL|F - pi) I, (2.9.16)
причем р 0, так как
(0) = - А0 (1 - (х) ^ 0 при [а Ф 1.
Отсюда, учитывая, что F(z) - полином Гурвица, и рассуждая аналогично
тому, как в лемме 1, будем иметь
\F(№\ = \F(- Р01Ф 0-
Поэтому из неравенства (2.9.16) выводим
11 - ар"* | =р.,
т. е.
1 Н-а*р* = Да,
что невозможно при а)>0 и действительном Р Ф 0-
Из формулы (2.9.15) вытекает, что при (х=1 полином Ф^г) имеет двукратный
нулевой корень. Пусть корни zp ([а) -> 0 и гч (Iх) 0 ПРИ [А -> 1 - 0- На
основании известных соотношений между корнями и коэффициентами полинома
при 0С[х<Ч получаем
"4*2
У 1 -Л*
" г/(и-) А0 '
;'= 1
или, переходя к действительным частям, находим
п+2
(2-9.17)
у=1
Отсюда следует, что один из корней zp ((х) и zq (ц) при 0 sg; ii 1 должен
иметь положительную вещественную часть, так
96 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ fГЛ. II
как в противном случае, при ц ->- 1 - 0, левая часть равенства (2.9.17)
стремилась бы к - со, а правая оставалась ограниченной и положительной,
что, очевидно, невозможно. А так как гл+3 (ц) есть единственный корень с
положительной вещественной частью при 0 sg: [а 1, то, полагая
Re 2р(р)>0, Нш 2р(ц) = 0,
(X-1-0
получаем р = п-\- 2. Без нарушения общности рассуждения можно принять q =
ti-(-1 и, следовательно,
lim 2л+1(ц) = 0.
(i-1-0
Тогда, учитывая, что
о.Ах - (1 - [л) А2 -> а А] -ф 0
при -> 1 - 0, будем иметь
lim Zy(fi) = Cy, Re су<0 (/=1,..., п). (2.9.18)
р.-*-1-0
Так как на основании формул (2.9.13) и (2.9.15) при [*=1 имеем
Ф, (z) = aaz2/ (z),
то Су (/==1...... п) являются корнями многочлена / (z) и, следо-
вательно,
f(z)eHn.
Замечание. Если
/Чг) = Л, + у4,г + ... + у4я+1г*"
есть стандартный полином степени п-\- 1, причем Л0^>0 и Л]]>0, то на
основании формул (2.9.13) и (2.9.14) получаем, что существует стандартный
полином / (г) степени п такой, что
Sf (z) - F (г).-
Из лемм 1 и 2 следует, что множество всех стандартных полиномов Гурвица Н
можно построить, исходя из совокупности стандартных полиномов Нх первой
степени и последовательного применения операции присоединения S. А именно
Hi = SHu
tf3 = Stf2 = S'2tf1,
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed