Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
асимптотически устойчива. Тогда эта система устойчива по Ляпунову при t -
>- со, и, следовательно, на основании теоремы 1 имеем
ReX^O (/= 1, ..., т). (2.8.11)
Допустим, что найдется хотя бы один характеристический корень ^ = ^5
(lcscm) такой, что
ReX5 = 0.
Тогда система (2.8.1) имеет решение вида
| = ех*'с = (cos [V -(-1 sin (а5/) с, где с - ненулевой вектор-столбец.
Поэтому
Ш = 1И1>о
и, значит, при t-+co, что противоречит асимптотической устойчивости
системы (2.8.1). Следовательно,
ReXy<0 (/=1, ..., т).
Теорема доказана полностью.
Замечание. Таким образом, чтобы доказать асимптотическую устойчивость
линейной однородной 'системы (2.8.1), достаточно убедиться, что все корни
Хь ..., Хл ее векового уравнений
det (А - Щ = 0
обладают отрицательными вещественными частями. В следующем параграфе мы
дадим необходимые и достаточные условия, при которых алгебраическое
уравнение с действительными коэффициентами имеет корни лишь с
отрицательными вещественными частями.
§ 9. Критерий Гурвица
Рассмотрим полином
f (z) = a9J\- atzапгп (п^1), (2.9.1)
где г=х-f-iy - комплексное число и а", аи ап - действительные или
комплексные коэффициенты.
§ 9] КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА 91
Определение. Полином f (г) степени п Зг 1 называется
полиномом Гурвица, если все его корни (нули) ги za, ...,z"
обла-
дают отрицательными вещественными частями
Rezy<0 (у = 1, п),
"г. е. все корни z;- расположены в левой комплексной полуплоскости.
В дальнейшем мы будем предполагать, что коэффициенты а0, аь а" полинома
f(z) (2.9.1) действительны, причем
а0>0, ап^ 0. (2.9.3)
Такой, очевидно, не имеющий нулевых корней полином для краткости будем
называть стандартным полиномом степени п (п 1). Установим простое
необходимое условие для полинома Гурвица. Теорема. Если стандартный
полином является полиномом Гурвица, то все его коэффициенты положительны.
Доказательство. Пусть
2; = - "у =±г г'Ру (/= 1...........р)
- комплексные корни (ру^О) полинома Гурвица / (г) (2.9.1) и
гк~ - Та (k=l, ..., q)
--действительные корни этого полинома. В силу определения полинома
Гурвица имеем
а/>°. Ъ>0. (2.9.4)
Обозначим через о;- (/ = 1, ..., р) кратность корня z;- = - ау -)-тогда,
так как коэффициенты полинома (2.9.1) действительны, то сопряженный
корень Zy = - а у - /ру имеет ту же кратность оу. Пусть кратность
действительного корня (k = 1, ..., (7) есть Очевидно,
2ау -J- 2sft = tt.
/=1 *=1
Пользуясь известным разложением полинома /(z) на линейные множители,
имеем следующее тождество:
/ (г) = ап Д (z -f- ay - + <*/ + ip;)"/ Ц (z + Та) \
;=1 А=1
ИЛИ
/(г) = аяП(га + 2ауг + а? + р;Г'П (г + Т*Г*- (2.9.5)
У=1 А = 1
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной г в правой и
левой частях тождества (2.9.5), получаем, что все
92 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 11
коэффициенты полинома f (z) имеют одинаковые знаки. А так как в силу
условия (2.9.2) a0j>0, то
fli>0, a3>0, ..., a">0. (2.9.6)
Теорема доказана.
Замечание. Легко показать, что для стандартного полинома второй степени
/ (z) = а" + al2 + а2га (2.9.7)
условие теоремы является достаточным, т. е. если
а">0, а,>0, а2>0,
то полином (2.9.7) будет полиномом Гурвица.
Для стандартного полинома степени выше второй из положительности его
коэффициентов в общем случае не вытекает, что этот полином есть полином
Гурвица.
П d и м е р. Полином
/ (z) = 30 + 4z-(-z8 + z3
имеет лишь положительные коэффициенты, но не является полиномом Гур-вица,
так как его корни есть zl = - 3, z2 = 1 -J- 3t, z3 = 1-31.
Обозначим для краткости через Нп(п= 1, 2,...) совокупность всех
стандартных полиномов Гурвица степени п, и пусть
ОО
Н= и Нп
п= 1
- множество всех стандартных полиномов Гурвица.
Для вывода необходимых и достаточных условий для отношения f{z)(^H введем
понятие присоединенных полиномов (ср. [15]).
Определение. Полином
F(z) = Sf(z),
где
/г(2) = (1+аг)/(2)+/(- 2) (а>0),
будем называть присоединенным к полиному f(z).
Лемма 1. Полином, присоединенный к стандартному полиному Гурвица, есть
стандартный полином Гурвица, т. е. если
f(z)?Hn, то F(z) = Sf(z)^Hn+l.
Доказательство. Рассмотрим полином
ФД2) = (1+а2)/(2) + [А/(-2), (2.9.8)
где действительный параметр jj. пробегает отрезок 0 ss jj- 1, причем
ф1 (г) = f (г).
S 9] КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА 93
Покажем, что корни Z/([i) (/=1, 2, "+1) полинома ФДг)
при [J. ? [0, 1] расположены в левой полуплоскости Rez<^0, т. е. полином
Фц (г) есть полином Гурвица.
Действительно, прежде всего, полагая
f (Z) = а0 alz ••• ~JranZ'11
где
Яо>0, а,>0, .... а">О,
будем иметь
ф, (2) = feo ((*) + &. (г) z +... + Ьп (г) zn + ааяг^\
где (ц) (v = 0, 1, ..., п) - линейные функции параметра (*. Отсюда,
учитывая, что аа"^>0, получаем
! (z) I > 0 при \z\^R, I* е [0, 1],
где R достаточно велико и не зависит от ц.
Следовательно, корни Z/{\х) заключены внутри достаточно большого
конечного круга |z|<^/? (рис. 11) и, значит, являются ограниченными
непрерывными функциями параметра ц. При ц = 0 полином Фр. (г) имеет
