Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
где Ijp) (j = 1, ..., ep - 1) - соответствующие единичные косые ряды.
Теорема 1. Линейная однородная система (2.8.1) с постоянной матрицей А
устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни ^ = Kj
(А) матрицы А обладают неположительными вещественными частями
Re\,04)sg0 (j=\,...,n),
причем характеристические корни, имеющие нулевые вещественные части,
допускают лишь простые элементарные делители (т. е. соответствующие
клетки Жордана сводятся к одному элементу).
Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условий теоремы.
§ 8] УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ 87
Пусть Ху == ау 4- tpy (j= I,..., р; i=V - 1) - все характеристические
корни матрицы А с отрицательными вещественными частями а/г отвечающие
различным клеткам Жордана, и ХА = = i^k(k-=1,..., q)- все
характеристические корни матрицы А с нулевыми вещественными частями,
причем р -f- q = т - общее число клеток Жордана в нормальной форме
матрицы А. Тогда в силу формулы (2.8.5) любое решение системы (2.8.1)
имеет вид
х (0 = 2 eV (cos \? +1 sin P/9 р, (0 +
/=i
+ 2 (cos 7** + * sin 7*0 c*. (2-8.6)
A = 1
где Pj (t) - некоторые полиномиальные вектор-функции, степень которых
ниже кратности корня Ху, и ск - постоянные вектор-столбцы. Так как <*у<[
0, то
еа>'P} (t)-*-0 при
Кроме того,
|cos7*/ + i sin7*/| = l.
Поэтому из формулы (2.8.6) вытекает, что каждое решение x(t) ограничено
на полурси /0 оо.
Следовательно, на основании теоремы 1 из § 7 система (2.8.1) устойчива.
2) Докажем теперь необходимость условий теоремы (см. [17]).
Пусть система (2.8.1) устойчива. Покажем сначала, что все
характеристические корни Ху матрицы А имеют неположительные вещественные
части. Действительно, предположим, что найдется собственное значение Хл =
о -|- i~ матрицы А такое, что
ReXi = o^>0.
Тогда, как известно, система (2.8.1) имеет нетривиальное решение вида
". х t
Ъ = е * с,
где j) с || 9^0. Отсюда
|| HI = | е V 11| с || - е°' л с || оо при t -> оо
и, таким образом, решение неограниченно, что противоречит устойчивости
системы. Поэтому
Re Ху < 0 (/=1,..., л). (2.8.7)
88
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. II
Покажем теперь, что каждый характеристический корень Ху с нулевой
вещественной частью Re Ху = О имеет простые элементарные делители.
В самом деле, предположим, что матрица А приведена к жор-дановой форме
i4 = S'1diag[./1(X1), Jm(Xm)]S,
где det S Ф О, причем некоторому характеристическому корню Xs = qj.s (Re
Xs = 0) соответствует клетка Жордана
¦МУ =
г% 1 ... о 0' о xs ... о о
о о ... г, 1 о о ... о хс
0] S
(2.8.8)
типа es X е5 > где es^>l. Тогда
3(0 = 5 ''diag [0, ..., etJs{}s\ будет являться матричным решением
системы (2.8.1), так как
3 (t) = S~ 1 diag [0, ..., JsQ.s)eus{ls\ 0]S = •
= S-1'diag[yi(Xi), ..., Js(ks), ..., ym(g]SX
X 5-1 diag[0, ..., e'W, ..., 0]S = A3(0. Из формулы (2.8.8) получаем
diag[0, ..., ..., 0] = 53(05"'.
Отсюда, оценивая по норме, будем иметь
II diag [0....e'W, 0]|| =
= |',е"Л> |i^:|S|| ||S (ОН US"11
Так как
t
(2.8.9)
e'VV=e*-'
1
Л-1
1! ••• (es - 1)!
2
0 1 ...
(es - 2)!
0 0 ... 1 J
то, воспользовавшись, например, первой нормой при t^0, получаем
§ 8] УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ 89
где a = ReXJ = 0. Из неравенства (2.8.9) выводим
'I /л и ii |! ^
i|S(/)i|S5 ||]S|| ||S-1 || >(ei_i), !;S !|[|S-Mj
при /5&0.
Таким образом, j| H (/) j|со при /¦-> со, что невозможно для устойчивой
системы.
Теорема доказана.
Замечание. Устойчивая линейная однородная система с постоянной матрицей А
равномерно устойчива относительно начального момента °°> "Не-
действительно, так как решения устойчивой линейной системы ограничены, то
имеем
\eAt l|sgc при /s-О.
Пусть х (t) - произвольное решение нашей системы. Тогда
x(t) = e{'-'t)Ax(t0) и, следовательно, при t^>t0 получаем
II * (О 11 - ii IIII * (/") II I! * (/") II <е,
если
|1*(*о)1Ку='8,
причем число 8 не зависит от начального момента t0. Таким образом,
тривиальное решение х = 0 равномерно устойчиво при /¦->-оо, а значит, и
все решения этой системы также равномерно устойчивы при t -> со (§ 6,
теорема 2).
Теорема 2. Линейная однородная дифференциальная система
(2.8.1) с постоянной матрицей А асимптотически устойчива тогда и
только тогда, когда все характеристические корни Х_,- = Х_,-(Л) матрицы А
имеют отрицательные вещественные части, т. е.
ReХу- (Л)<0 (/=1,...,").
Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условия теоремы. Пусть
Хь ..., Xm(/n==gn)- все характеристические корни матрицы Л, отвечающие
различным клеткам Жордана, причем
ReХу<0 (/=1, ..., ш). (2.8.10)
Из формулы (2.8.5) вытекает, что каждое решение системы (2.8.1) имеет вид
т
j= i
90 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
где Pj (t) - полиномиальные матрицы. Отсюда на основании условия (2.8.10)
получаем
lim лс(/) = 0
00
и, следовательно, в силу теоремы 2 из § 7 система (2.8.1) асимптотически
устойчива.
2) Докажем теперь необходимость условия (2.8.10). Пусть система (2.8.1)
