Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 22

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 121 >> Следующая

§ 6 и любое решение системы (2.7.1) устойчиво по Ляпунову при
Таким образом, система (2.7.1) устойчива.
2) Докажем теперь, что ограниченность решений линейной однородной системы
нербходима для ее устойчивости.
Пусть система (2.7.1) допускает неограниченное на [4, оо) решение z (t),
где,, очевидно, z(t<s)^ 0. Фиксируя два положительных числа е)>0 и 8^>0,-
рассмотрим решение
Очевидно,
причем в силу неограниченности z(t) для некоторого момента t\ t" имеем
Таким образом, тривиальное решение = 0 системы (2.7.1) неустойчиво по
Ляпунову при ^-v-j^00" а следовательно, на основании теоремы 1 из § 6,
система (2.7.1) также вполне неустойчива.
Заметим, что здесь неустойчивость системы обнаруживается в усиленной
форме, так как положительное число е произвольно.
Следствие. Если неоднородная линейная дифференциальная система устойчива,
то все ее решения или ограничены, или не ограничены при /->- + оо.
Пример. Скалярное уравнение
то решение у0, очевидно, устойчиво и даже асимптотически.
Замечание. Для нелинейной дифференциальной системы из ограниченности ее
решений, вообще говоря, не следует устойчивость их.
Пример. Рассмотрим скалярное уравнение
1Ш1чЕ II *(<")!! 2
допускает неограниченное решение y0 - t. Так как
dx
§ Л
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ
83
Интегрируя, будем иметь (рис. 9)
х = Arcctg (ctgх0 - t) при хаф.кк (2.7.2)
и
х = кп при x0 = kn (k = 0, ± 1, ± 2, ...). (2.7.3)
Все решения (2.7.2) и (2.7.3), очевидно, ограничены на (-оо, +оо).
Однако решение дг0 = 0 неустойчиво при <-> + <", так как при любом х0 ?
(0, я) имеем
lira х = п.'
ОО
Теорема 2. Линейная однородная дифференциальная система
(2.7.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда-все ее
решения x = x(t) стремятся к нулю при ^ оо, т. е.
lim х (0 = 0.
t -*¦ -{¦ СО
(2.7.4)
Доказательство. 1) Пусть система (2.7.1) асимптотически устойчива при / -
"- 4-°°. Тогда все ее решения, в том числе тривиальное л:0 = 0,
асимптотически устойчивы при °6-
Следовательно (см. § 1, определение 4), для любого решения |(0 системы
(2.7.1) имеем
lim 1(0 = 0,
t -*• °о
если только |Ц(^о)||<Сд> гДе U ? ^ произвольно.
Рассмотрим произвольное решение л: (0. определяемое начальным условием x
(t0) = x0 Ф 0. Положим
". /Л_t И\ II ¦*(<"> II
84
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [1Л. II
Так как решение | (/), очевидно, удовлетворяет условию
то для него справедливо соотношение (2.7.5). Следовательно,
Таким образом, необходимость условия теоремы доказана.
2) Пусть условие (2.7.4) выполнено. Тогда для каждого решения х (t) 00)
будем иметь
Так как на конечном отрезке [/0, Т] непрерывная векгор-функ-ция x(t)
ограничена, то любое решение x(t) ограничено на полупрямой [/", оо) и,
Следовательно, на основании теоремы 1 система
(2.7.1) устойчива, причем ее тривиальное решение асимптотически
устойчиво. Отсюда в силу теоремы 3 из § 6 вытекает асимптотическая
устойчивость системы (2.7.1).
Следствие. Асимптотически устойчивая линейная дифференциальная система
асимптотически устойчива в целом (§ 1, определение 5).
Замечание. Для нелинейной дифференциальной системы стремление к нулю всех
решений, вообще говоря, не является достаточным условием для
асимптотической устойчивости тривиального решения ее.
Пример. Рассмотрим систему
dt t
допускающую тривиальное решение л: = 0, j/ = 0. Интегрируя, получим
ШШ=4<А*
Jim л:(/) = 0.
||х(011<1 ПРИ 7,<0<Ссо-
dy _ у
или, полагая f0=l, будем иметь
Очевидно,
х и у (t) 0 при t со.
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ
85
Однако для любого Б>0 при jc (г^0) = В2, y(t0)= Ь будем иметь
Следовательно, решение л = 0, у = 0 не является устойчивым, а тем более
асимптотически устойчивым при tоо (рис. 10).
§ 8. Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной матрицей
Рассмотрим систему
тогда, учитывая свойства экспоненциала матрицы (гл. I, § 14), будем иметь
Так как det eAt = ё sp а ^ 0, то матрица еА' неособенная. Поэтому из
(2.8.2) получаем
и, следовательно,
У
о
1 х
е
Рис. 10.
° 8.1)
или
= 0.
(2.8.2)
и = с,
где с - постоянная (п X 1)-матрица.
86 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. И
Таким образом, общее решение системы (2.8.1) с постоянной
матрицей А есть
х = еА/с. (2.8.3)
Пусть х (t$) = Хц. Из формулы (2.8.3) имеем х9 = еА'"с,
т. е.
с = е-А'"х0,
и, значит,
х - еА^~'">х0. (2.8.4)
Пусть (mssLn) - собственные значения матрицы А,
отвечающие различным клеткам Жордана, и et, ... , ет - соответствующие им
порядки клеток Жордана. Обозначим через 5 неособенную матрицу, приводящую
матрицу А к жордановой форме:
А = S 1 diag [Уt (Xj), ..., Jт (Xm)] 5,
где Jp (Хр) (р = 1, ... , т) - соответствующие клетки Жордана, Тогда на.
основании свойств экспоненциала (гл. I, § 13) из формулы (2.8.4) получаем
х (I) = 51 diag [exp (t ~t9)Jt (>ч), ...
..., exp (г - t")Jm(\m)l Sx(te), (2.8.5)
где
exp l(t-t0)Jp (yj =
= Л(/ - *•> [ Eep -f !["> n
I to)* j(p) I I if - <o) p I(p) 1
-Г 21 '• "Г---Г (ep - \)\ Ч"1]'
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed