Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 21

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 121 >> Следующая

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
79
Таким образом, неравенства (2.6.3) и (2.6.4) эквивалентны следующим:
II *(0.110 при г0^<оо,
если только '| х (t0) || 8.
Отсюда вытекает, что тривиальное решение дг0 = 0 соответствующей
однородной системы (2.6.2) устойчиво по Ляпунову при t -у оо.
Замечание 1. Из доказательства следует, что устойчивость тривиального
решения jc0 = 0 однородной системы (2.6.2) вытекает из устойчивости хотя
бы одного решения линейной системы (2.6.1) при каком-нибудь свободном
члене f(t) (может быть, /(0 - 01).
2) Докажем теперь достаточность условия теоремы. Пусть тривиальное
решение jc0 = 0 однородной системы (2.6.2) устойчиво по Ляпунову при t-
+co. Тогда, если х = x(t) (t0^t<^co)- произвольное решение однородной
системы такое, что
II *(011 <4*, to),
то
II *(011 О при t0^t<oo.
Следовательно, если ц (t) - некоторое решение линейной неоднородной
системы (2.6.1) и у (t) - произвольное решение этой системы, то из
неравенства
Н.у(<о)-*1(Ш<* будет вытекать неравенство
11^(0 -4(0 Н<" при *о^*<оо.
А это и значит, что решение ti(f) устойчиво при t-+ оо.
Следствие 1. Линейная дифференциальная система устойчива, когда устойчиво
хотя бы одно решение этой системы, и вполне неустойчива, если неустойчиво
некоторое решение ее.
Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы 1 и замечания 1 К
Н?Й.
Следствие 2. Линейная неоднородная дифференциальная система устойчива
тогда и только тогда, когда устойчива соответствующая однородная
дифференциальная система.
Замечание 2. Таким образом, поведение решений линейной неоднородной
системы (2.6.1) с любым свободным членом / (t) в смысле устойчивости
такое же, как поведение решений соответствующей однородной системы
(2.6.2).
80 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
Действительно, для неоднородной системы (2.6.1) поле интегральных кривых
v(t)=y(t) + X(t)c, (2.6.6)
где у (t) - частное решение системы (2.6.1) и X (t) - фундаментальная
матрица решений однородной системы (2.6.2), топологически эквивалентно (с
сохранением близости) полю интегральных кривых
х (t) = X (t) с
соответствующей однородной системы (2.6.2); разница только та, что в
первом случае "ось" y=y(t), вообще говоря, криволинейна (рис. 7), а во
втором случае ось д: = 0 прямолинейна (рис. 8).
Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением устойчивости лишь
однородных линейных дифференциальных систем.
Определение 2. Линейную дифференциальную систему
(2.6.1) назовем равномерно устойчивой, если все решения у (t) этой
системы равномерно устойчивы при *->-{- оо относительно начального
момента t9 ^ /+ (§ 3).
Теорема 2. Линейная дифференциальная система (2.6.1) равномерно устойчива
тогда и только тогда, когда тривиальное решение дг0 = О соответствующей
однородной системы (2.6.2) равномерно устойчиво при / -> -f- оо.
Доказательство проводится с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые
были применимы при доказательстве теоремы 1.
Определение 3. Линейную дифференциальную систему
(2.6.1) назовем асимптотически устойчивой, если все решения y(t) этой
системы асимптотически устойчивы при *->-{- оо.
Теорема 3. Линейная дифференциальная система (2.6.1) асимптотически
устойчива тогда и только тогда, когда три-
устойчивость линейных однородных систем
81
виальное решение ха = 0 соответствующей однородной системы
(2.6.2) асимптотически устойчиво при оо.
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из того
обстоятельства, что разность двух решений линейной неоднородной системы
есть решение соответствующей однородной системы (формула (2.6.5)).
Следствие, Для асимптотической устойчивости линейной неоднородной
дифференциальной системы (2.6.1) при любом свободном члене f(t)
необходимо и достаточно, чтобы была асимптотически устойчивой
соответствующая однородная система (2.6.2).
§ 7. Устойчивость линейных однородных дифференциальных систем
Рассмотрим однородную систему
§ = A(t)x, (2.7.1)
где A (t) ? С (/+).
Покажем, что устойчивость системы (2.7.1) эквивалентна ограниченности
всех ее решений.
Теорема 1. Линейная однородная дифференциальная система
(2.7.1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда каждое
решение x=x(t)(tB^t<^oo, i0 /+) этой системы ограничено на полуоси
/Osg:/<^oo.
Доказательство. 1) Докажем сначала, что ограниченность решений линейной
однородной системы достаточна для ее устойчивости.
Пусть любое решение системы (2.7,1) ограничено на [/", оо) С /+
Рассмотрим нормированную фундаментальную матрицу
X(t) = \xJk(t)],
где X(tn) = E. Так как матрица X (t) состоит из ограниченных функций
xfk(t), то она ограничена, т. е.
при t0^t<d оо,
где М - некоторая положительная постоянная, зависящая, вообще говоря, от
/0.
Как известно (2.2.10), каждое решение x = x(t) системы (2.7.1) может быть
представлено в виде произведения
x(i) = X(i)x(t").
Отсюда получаем
\\хт^\\хт\\х(т^м\\х(т<*.
если только
82
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
Следовательно, тривиальное решение лг0 = 0, а значит, в силу теоремы 1 из
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed