Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
I! Е ii + { I! A (*,) I! \dh\-{- ( li A (h) III dt, 15 II
A (U) II! du I + • • -(2.4.5)
Al /о *0
Пусть [a, 3] С [to-A, to + B]C/+ (A>0, B>0) (рис. 6),
С = тах(Л, В) и М= шах ||Л(/)||.
t\}- В
При / ? [a, [3] последовательно имеем t
*0
i\\A (to II I dty I ( II A (/,) II I dt, I .< M'\ I
- to I I dt, |< f I t-t0 p;
^0 ^0 ^0
Так как j t - t№\^C, то, следовательно, ряд (2.4.5) мажорируется
сходящимся знакоположительным рядом
М3Га
!!?|! + А1С + -~+ ... = ||?||- 1 4-ехр (МС). (2.4.6)
Отсюда на основании известного признака Вейерштрасса получаем, что
знакоположительный функциональный ряд (2.4.5) сходится
tg-A t0 ос t / ta+3
--1---1------1-----1 и I----1-----mr
'-------------------"------------------' t
/.
Рис. 6.
равномерно на любом отрезке [a, [5] G/+. Следовательно, матричный ряд
(2.4.4) также сходится абсолютно и равномерно на [а, р].
Дифференцируя почленно ряд (2.4.4), получаем равномерно сходящийся на [а,
[3] ряд
dQ.' 1
=Л(/) + Л(/)5 Л(/,)Л4 +
t
+ A (t) I А (/,) du 5 A (tt) dt3+ ... = A (t) Q}0;
*0 to
кроме того,
2/S = E.
76 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 'Т
Следовательно, матрицант Q^0 представляет собой нормированную
фундаментальную матрицу однородной дифференциальной системы
(2.4.1), причем любое решение этой системы х(1) выражается по формуле
(2.4.3).
В силу свойства единственности решений линейной дифференциальной системы
имеет место тождество
= К (t, to),
где К (t, г0) - матрица Коши.
Формулы (2.4.3) и (2.4.4) впервые были получены итальянским математиком
Пеано. На основании теоремы единственности получаем основное свойство
матрицанта
я№0 = &'9 (to, tut € п.
§ 5. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
Для неоднородной дифференциальной системы
% = A{f)y+f{t) (2.5.1)
будем искать решение в виде
y = X(t)u, (2.5.2)
где X (() - фундаментальная матрица соответствующей однородной
системы
/7у
-щ = А")х (2.5.3)
и и = и (t) - новая неизвестная вектор-функция. Подставляя вы-
ражение (2.5.2) в уравнение (2.5.1), получим
X (t) f + X(t)a = A (t) X (t) и +/(/),
или так как
X(t) = A(t)X(t),
то отсюда будем иметь
x(t)d?=f(t).
Следовательно,
/
и (t) = c + \ Х Л (tofdodti.
§ 51 МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ ЛАГРАНЖА 77
Поэтому на основании формулы (2.5.2) находим (см. [6], [12])
t
y(t) = X{t)c + \ Kit, U)fih)dtь (2.5.4)
*0
где
K(t, t1) = X(t)X-'(tl)
- матрица Коши. Для определения произвольного постоянного вектора с в
формуле (2.5.4) положим t = t0. Тогда будем иметь
c = X~l(t<i)y(to)
и, следовательно,
t
y(t) = K (t, ta)y (*") ~f ^ К (t, t,) f(t,) dtx. (2.5.5)
h
В частности, если фундаментальная матрица X it) нормирована при t - to,
т. е. Xita) = E, то из формулы (2.5.5) получим
t
У (*) = *(*) У (*<>) + $ Kit, h)fih)dt,.
^0
Из формулы (2.5.5) вытекает, что неоднородная система (2.5.1) имеет
частное решение
t
y(t)=\ К it, t^fit^dtu
удовлетворяющее условию у (?0) = 0.
Заметим, что если матрица A(t) = A постоянна и Xit№) = E,
то
X it) X 1 (fj) и X it -1\ -j- to)
представляют собой фундаментальные матрицы однородной системы (2.5.3),
совпадающие при t = tx. Поэтому
X(t)X-^tt) = X(t - *, + *").'
Следовательно, полагая tn = 0, получаем, что дифференциальная система
% = Ay-'rf it), (2.5.6)
где А = const, имеет общее решение
t
у it) = A' it)у (0) + ^ X it - h)f(t,) dtь (2.5.7)
о
78 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. П
В частности, при_у(0) = 0 получим, что неоднородная система (2.5.6)
обладает частным решением
о
§ 6. Общие теоремы об устойчивости линейных дифференциальных систем
Рассмотрим линейную дифференциальную систему
dJL = A(t)y+f(t), (2.6.1)
где А (0, /(/) ? С (/+), и пусть
dft=A{i)x (2.6.2)
- соответствующая однородная система.
Определение 1. Линейную систему (2.6.1) будем называть устойчивой (или
вполне неустойчивой), если все ее решения у = =у (0 соответственно
устойчивы (или неустойчивы) по Ляпунову при / -> -|- оо.
Замечание. Как мы увидим ниже, решения линейных дифференциальных систем
либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы. Подобная терминология
не применима к нелинейным дифференциальным системам, некоторые решения
которых могут быть устойчивыми, а другие - неустойчивыми.
Теорема 1. Для устойчивости линейной системы (2.6.1) при любом свободном
члене f{t) необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым тривиальное
решение лс0 = О (t9 <^t со, ta ? /+) соответствующей однородной системы
(2.6.2).
Доказательство. 1) Докажей сначала необходимость условия теоремы. Пусть ц
- ц (t) (t0 eg; t<[ оо) есть некоторое устойчивое решение неоднородной
системы (2.6.1). Это значит, что для каждого е > 0 существует 8 0
такое, что для любого решения у =у (t) системы (2.6.1) при
ta^t<^oo справедливо неравен-
ство
НЯО-чШС(r), (2.6.3)
если только
ILV('o)-Tl(/")ll<8. (2.6.4)
Но, как известно,
*(0=;V(0-4(0 (2.6.5)
является решением линейной однородной системы (2.6.2), причем любое ее
решение x{t) может быть представлено в виде (2.6.5).
