Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. матрица, состоящая из п линейно независимых ее решений: •*(1) (0 =
colon [лг,! (/), ..., хп1 (/)];
•*(л) (0 = colon [хы (t), ..., хпп (/)],
В записи [Xjk(t)] первый индекс / обозначает номер координаты, а
второй k - номер решения, так что в фундамен-
тальной матрице (2.2.4) решения располагаются по столбцам.
Покажем, что матрица X (t) удовлетворяет матричному уравнению
X(t) = A(t)X(t). (2.2.6)
Действительно, так как функция xjk (t) удовлетворяет /-му уравнению
системы (2.2.5), то имеем
П
1^= 2 <2-2-7)
s= 1
Следовательно, вспоминая правило перемножения матриц, получаем
П
Х <*> = [Ч?] = [ 2 a?s <*> <*)] = A(t)X (t),
S= 1
что и требовалось доказать.
Заметим, что при нашем доказательстве не понадобилась нео-собенность
матрицы X (/). Поэтому любая матрица X (t), столбцы которой представляют
собой решения линейной однородной системы
(2.2.5), удовлетворяет матричному уравнению (2.2.6).
Обратно, если (п X п)-матрица X (t) = [xJk(t)} удовлетворяет матричному
уравнению (2.2.6), то столбцы ее
х(к) = colon[xik (t), xnk{t)\ (k=l, .n)
представляют решения линейной однородной системы (2.2.5). Если при этом
det X (t) ф 0, то матрица X (t) является фундаментальной.
Действительно, очевидно, имеем
х<*> (t) = X(t)ek,
где е* = colon [0, ..., 1, ..., 0]. Умножая справа на ek уравнение
(2.2.6), получим
72
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
I гл. И
т. е.
^' = Л(0*(А) (л=1
Если X (t) - фундаментальная матрица системы (2.2.5), то, как известно
(см. [9] -[12]), каждое решение этой системы может быть записано в виде
x(t) = X(t)c, (2.2.8)
где с - colon [сь ... , с"] - некоторая постоянная матрица-столбец.
Пусть решение x = x(t) удовлетворяет начальному условию х (t^) - хй-
Полагая в тождестве (2.2.8) t - to, будем иметь
х t0) = X (t0) с; отсюда с - X 1 (t0) х (t0). Следовательно,
x(t) = X (t) X"1 (t0) х(Ц).
Вводя матрицу Коши
К (t, t0) = X (t) X~l (Q,
получим
x (t) - K (t, to) x (to). (2.2.9)
В частности, если фундаментальная матрица X (t) нормирована
при t - tt), т. е. X(to) - E, где Е - единичная матрица, то
фор-
мула (2.2.9) принимает вид
x(t) = X (t) х (to). (2.2.10)
Заметим, что матрица Коши не зависит от выбора фундаментальной матрицы X
(t). Действительно, если X (t) есть другая фундаментальная матрица
системы (2.2.1), то имеем X (t) = X (t)C, где С - постоянная неособенная
матрица. Отсюда л 1 (t) = С^Х'1 (t) и, следовательно,
К (t, to) = X (t) (to) = X (t) CC-'X'1 (to) = К (t, h).
Любое решение y=y(t) неоднородной системы может быть записано в виде
у (0 =у (0 + х (t) с,
где у (t) - некоторое фиксированное решение ее и с - постоянный (п X
1)~вектор. Если у (t) таково, что у (t0) = 0, то, очевидно,
С=Х~Л (to) у (Г0)
и, следовательно,
y(t)=y (*) +A' (t, to)y(t").
§ 3] ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО - ЛИУВИЛЛЯ 73
§ 3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть
X{t)={xik {t)\
- фундаментальная матрица однородной дифференциальной системы (2,2.5)
и
W (t) = det X (t) (2.3.1)
-- определитель Вронского.
Используя правило дифференцирования определителя, находим
dW dt :
У
мш,
/¦=1
Отсюда, так как
x" (t) , . X,k (t) . . ¦ x\n (t)
Xji (t) .. Xjk (0 • • • x'm it)
xnl (t) . X/ik (0 ¦ • ' xnn it)
is (t) Xsk (t) (/, li = = 1.
в силу известных свойств определителя получаем
Xu (t) . . xlk(t) . • Xln (t)
II i i w <4 xsl(t) . ' Xsk (t) . ¦ ¦ xsn(t)
Xnl (0 • • xnk (t) . • xnn (t)
2 2 ajs(t)hsw(t)=w (t) у "//(о,
у'=1
= 1 .5=1
г. е.
Следовательно,
dW
dt
:Sp A(t)W (t).
Интегрируя последнее уравнение в пределах от tn до t, где tn ? /+ и I f-
I , приходим к формуле Остроградского-Лиувилля (см. [9] 111])
W (t) - W (t0) exp § Sp A (ti) dti.
(2.3.2)
74 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. Ц
§ 4. Матрицант
Рассмотрим линейную однородную дифференциальную систему
d-^ = A(t)x, (2.4.1)
где Л (/) ? С (/+). Пусть /" ? 1+ и x = x(t)- решение системы
(2.4.1), определяемое начальным условием
x(tt) = x0, (2.4.2)
где Хо - некоторый вектор-столбец. Для аналитического представления
решения x(t) применим метод последовательных приближений в специальной
форме. Из уравнения (2.4.1) с учетом (2.4.2) получаем интегральное
уравнение
t
х (t) = х (t0) + 5 Л (ti)x(ti) dtx.
*0
Заменяя в последнем интеграле x(ti) суммой
h
х (to) $ A (t-i) х (Li) dti7
*0
будем иметь
t t ti
x (t) = x (t0) -f- J A (ti) x (t0) dt,-j-§ A (tt) dti J A (ti)
x (t.i) dto.
Повторяя этот процесс неограниченное число раз,' получим формальное
представление решения
х (t) = х (to) + (Л (/,) * (to)dh + j Л (/,) du \ А (1г) х
(t2) dtt + ...
*0 to to
ИЛИ
x(t)=Q{0x(t0), (2.4.3)
где
= E 4- J Л (ti) dt\ -{- § A (t^dti ^ Л (/2) dtt,, -f- ... (2.4.4)
to to to
Матрица называется матрицантом дифференциальной системы
(2.4.1). Покажем, что ряд (2.4.4) сходится абсолютно для всякого t ?
/+, причем сходимость равномерна на каждом конечном отрезке [а, р] G
§ 4] МАТРИЦАНТ 75
Действительно, оценивая члены ряда (2,4.4) по первой норме
(см. формулу (1.11.2)), получим ряд
