Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
теоремы 1 получаем, что представляет собой прямую сумму:
что и требовалось доказать.
Замечание. Из данной конструкции построения базиса подпространства Ш;
вытекает, что в сумме (35) имеется ровно Я/i- ?fc+i слагаемых для которых
причем максимальная размерность подпространства равна г и
Я/ (Яг-i Яг) (г 1) -\- • • • -j- (Яг Яъ) ¦ 2 -)- (Я\ Яг) ¦ 1 -
Теорема 5' (вторая теорема приведения). Пусть (,п X п)-матрица А имеет
единственное собственное значение X. Тогда эту матрицу с помощью
преобразования подобия с неособенной матрицей S можно привести к
квазидиагональному виду
- клетки Жордана различных порядков (е± -|- ... -\-es = п).
Формула (36) непосредственно вытекает из разложения (35), теоремы 3 и
леммы 2.
(33)
(34)
SRy = 9l10 ... (c)9i.
(35)
dim9^ = Л (k = r, r- 1, ..., 1; qr+l = 0),
- Яг + Яг-i -\- ••• Ч" Я-2 + Я1 - dimS)?y,
1 = diag [Ji (X), ..., У,(Х)],
(36)
где
~X 1 ...00' o' X ... о 0
Jk<M =
= \E{ek] + />> (?=!,..., s)
0 0 ... X 1 0 0 ... 0 X
464
ПРИЛОЖЕНИЕ
Объединяя первую и вторую теоремы приведения (теоремы 4' и 5'), получаем
следующий результат.
Теорема 6. Всякая (п X п)-матрица А = [aJk] ' подобна некоторой матрице
J = SAS~1 (det S ф 0),
имеющей жорданову форму
y = diag[/1(X1), ... , Jm{lm)] (m<n), (37)
где Xj..... Xm- различные собственные значения матрицы А,
Ju (h) = diag [Jk, (Xft).
hh {Ч) = hE(e^ + I[kh) (h= 1, ... , /*; k = 1, ... , m)
- клетка Жордана с собственным значением Хь причем каждому
собственному значению Xfc кратности матрицы А соответствует одна или
несколько клеток Жордана порядка ekh, где
ek\-\~ ••• -\~ек,,,=Рк (k=\, т)
и к
Pl~\~ -\~Рт = п-
Число 1к клеток Жордана, отвечающих собственному значению Хь совпадает с
максимальным числом линейно независимых собственных векторов матрицы А,
соответствующих значению Xft.
Замечание. Если матрица А действительная, то базис, в котором она имеет
жорданову форму (37), можно выбрать так, что составляющие циклические
базисы, соответствующие действительным собственным значениям, будут
действительны, а ком-плексно-сопряженным - комплексно-сопряженные.
Укажем один из способов нахождения элементарных делителей данной
квадратной матрицы A = [aJk] порядка п. Рассмотрим Х-матрицу
F (X) = Х? - А,
Пусть г - ранг матрицы F (X) (1<г<п)ий;-(Х) (/ = 0,1.........г) -
наибольший общий делитель ее миноров /-го порядка, где положено Dо (X) =
1. Функция
.....'>¦
являющаяся целым полиномом, называется j-м инвариантным множителем
матрицы А (см. [82]).
Если Хь ..., Xm (ms^n) - различные характеристические корни матрицы А, то
можно доказать справедливость разложения
Е! (х)~(X - xiYLJ
где множители (X - Х*)е*/ (е/гу^г1), не сводящиеся к постоянным
величинам, являются элементарными делителями матрицы А. Последнее
разложение дает возможность эффективно вычислять элементарные делители
данной матрицы.
ЖОРДЛНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ
465
У пражнение. Пусть Д= [ajk] -действительная (п X я)-матркца, 1-р =*р± i/p
ОрФ 0) (p='i, % ...) - ее комплексные собственные значения, а Т?(9- 1> 2,
...) - ее действительные собственные значения. Доказать, что тогда
матрицу А с помощью действительной неособенной матрицы Т можно
представить в виде
А=Т~1ВТ,
где
причем (см. [17])
*'i V. •• , КрО-рУ, Ji (Tfi) • • • J W1
Кр Q-p) = Г Sp ?'2' о2 Sp .. О, .. О, о, -03
02 О, -А 02 .. Sp .. 02 ?<2, - >
2р О ' iJp , Е (21 = 1 O'
ур 0 1_
(р - 1 • • *" Р),
т? 1 .. 0 0 1
0 7 q .. 0 0
~{q) =
0 0 •• 7? 1
_ 0 0 .. 0 Т q -
= 1, • • • J Q).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1] Булгаков Б. В., Колебания, Гостехиздат, 1954.
[2] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, "Наука", 1965.
[3] Демидович Б. П., Марон И. А., Основы вычислительной математики,
"Наука", 1966.
[4] Г е л ь ф а н д И. М., Лекции по линейной алгебре, Гостехиздат,
1961.
[5] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, "Наука", 1967.
[6] Б е л л м а н Р., Теория устойчивости решений дифференциальных
уравнений, ИЛ, 1954.
[7] Ф и х т е н г о л ь ц Г. М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. I, "Наука", 1966; т. II, Физматгиз, 1962.
[8] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, ч. 1, "Наука", 1967.
[9] Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, "Наука", 1964.
[10] П о н т р я г и н Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения,
"Наука", 1965.
[11] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1959.
[12] Н е м ы ц к и й В. В. и Степанов В. В., Качественная теория
дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1949.
[13J Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат,
1950.
[14] Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, "Наука", 1966.
[15] Четаев Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1955.
[16] Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения,
Физматгиз, 1959.
[17] Г а н т м а х е р Ф. Р., Теория матриц, "Наука", 1967.
[18] В i h а г i J., A genralization of a lemma of Bellman and its
application to uniqueness problems of differential equations, Acta math.
