Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
По глубокому убеждению «человека с улицы», математика в отличие, скажем, от физики, биологии или химии, широко простирающей по свидетельству М. В. Ломоносова «руки свои в дела человеческие»,— наука застывшая, давно и окончательно сложившаяся, упорно
22
держащаяся в стороне от повседневных запросов практики, а математики занимаются в основном придумыванием разного рода каверзных задач и забивают головы несчастных школяров обветшалой премудростью, годной разве что для сдачи экзаменов по той же математике. Они живут в каком-то вымышленном мире и настолько погружены в свои размышления, что норой забывают обо всем на свете.
Великолепный образ традиционного профессора математики из широко распространенных анекдотов о математиках нарисовал Дьердь Пойа в своей книге «Как решать задачу»: «Он всегда рассеян. Считает, что потерял зонтик, а у него но зонтику в каждой руке. Он предпочитает стоять лицом к доске, а спиной к аудитории. Он пишет а, говорит Ь, имеет в виду с, а должно быть d» [22, с. 198].
По мнению людей, знакомство которых с математикой ограничивается сведениями о том, что «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется», «минус на минус дает плюс», не менее полезной информацией о «пифагоровых штанах», которые «во все стороны равны», и нескладными виршами, позволяющими восстановить несколько знаков в десятичном разложении числа л, математики проводят время за доказательством утверждений, не вызывающих ни малейшего сомнения ни у одного здравомыслящего человека. Примером такого рода «очевидных», но трудно доказуемых утверждений может служить теорема Жордана. Чтобы сформулировать ее, нам понадобится одно не слишком известное понятие.
Математики называют простой замкнутой кривой любую кривую, получаемую из окружности непрерывной деформацией. Это означает, что, взяв окружность, мы в праве как угодно сжимать, изгибать и растягивать ее, не разрывая и не склеивая точки. Так, кривую, изображенную на рис. 5, а, математики, казалось бы, вопреки здравому смыслу называют простой, а обыкновенную
23
восьмерку (кривую, изображенную на рис. 5,6) к прб-стым кривым не причисляют.
Выбор столь несуразного на первый взгляд определения простой кривой перестанет казаться странным, если мы обратим внимание на то, что непрерывная деформация не изменяет устройство кривой в окрестности каждой
Рис. 5. Простая (а) и непростая (б) кривые.
точки: взглянув в микроскоп на окрестность любой точки кривой, изображенной на рис. 5, с, мы не сможем отличить ее от окрестности любой точки окружности. Иначе говоря, эта кривая, несмотря на «устрашающую» внешность, устроена так же просто, как окружность, чего нельзя сказать о восьмерке: в точке А сходятся не два, а четыре «конца». Следовательно, восьмерка действительно устроена сложнее окружности!
Если для определения простой замкнутой кривой характерно противоречие между названием, отражающим простоту внутреннего устройства кривой, и бросающейся в глаза сложностью расположения кривой на плоскости, то теорема Жордана поражает кажущейся про-
24
стотой и «очевидностью». Эта знаменитая теорема утверждает, что каждая простая замкнутая кривая делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Тем, кто считает теорему Жордана очевидной, настоятельно рекомендуем произвести несложный эксперимент. Поставьте наугад точку на рис. 5, а — там, где изображена простая кривая. Сможете лн вы, не задумываясь, сказать, куда попала поставленная вами точка — во внутреннюю или во внешнюю область кривой с?
Здравый смысл, подкрепляемый наглядными, зримыми образами и нестрогими, интуитивными, или, как принято теперь говорить, эвристическими соображениями, аналогиями и той неполной индукцией, которой привычно пользуется любой естествоиспытатель, помогает математику открывать новое или проверять полученный результат на простых и понятных примерах. Строгое доказательство необходимо математику, как крылья, позволяющие воспарить над повседневным опытом, выйти за пределы, где здравый смысл перестает быть надежным советчиком и не только не предостерегает от возможных ошибок, но и сам становится их источником. Речь идет не о «торжестве науки над здравым смыслом», по крайней мере не о торжестве, длящемся вечно: по мере накопления строго доказанных теорем у математика исподволь накапливается опыт, формируется интуиция, подсказывающая, в каком направлении надлежит продолжать поиск истины.
Почему же работа математика окружена ореолом таинственности, искажающим для постороннего наблюдателя реальные масштабы и истинное содержание этой науки? Причин здесь несколько.
Во-первых, математика, как правило, имеет дело с абстракциями более высокой ступени, чем физика, химия, биология или экономика, и поэтому математику довольно сложно объяснить непосвященному суть исследуемой проблемы.
25
Справедливости ради следует заметить, что проникновение в любую область современной науки требует немалых усилий и основательной подготовки. Понять, чем занимается, например, современный физик-экспериментатор, не говоря уже о его коллеге — теоретике, неспециалисту весьма трудно. При взгляде на гигантский ускоритель посетитель научного центра видит перед собой вполне осязаемое циклопическое сооружение и, оставаясь в неведении относительно истинного его назначения, уходит в убеждении, что уж теперь-то ему доподлинно известно (еще бы! видел своими глазами!), чем занимаются люди, называющие себя физиками. Листок бумаги, испещренный формулами, ради проверки которых построен ускоритель, не внушает такого трепета. Работа математика менее зрелищна и не столь впечатляет постороннего наблюдателя.
