Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вместо «обычного» скалярного произведения векторов в трехмерном пространстве по его образу и подобию математики сконструировали абстрактное скалярное произведение (Р, Q) любых двух элементов скалярного векторного пространства, определив его так, чтобы оно обладало следующими свойствами:
1) (Р, Q) = (Q,P);
2) (кР, Q) = А,(Р, Q), где Я, — вещественное число;
3) {Pt + Pz, Q) = (Pi, Q) + (Р* Q);
4) (Р, Р) ^ 0 и обращается в нуль только при Р = 0.
Если мы рассматриваем множество многочленов на отрезке [a, ft], то одним из скалярных произведений могло бы быть, например, такое
ь
(Р, Q) = J" PQdx (3)
а
ИЛИ .
в
(Р, Q) = J PQp{x)dx,
а
где р (х) ^0 па [а, Ь].
Для тех, кто впервые видит знак интеграла /, сооб-
0
щим, что J F{x)dx означает площадь под кривой F(x),
а
18
ограниченной слева ординатой F(a), а справа — ординатой F(b).
Угол между Р(х) и Q{u) определяется с помощью (Р, Q):
(Р, Q)
ф = агсс05ТРПоГ'
где |Р| =У (Р.Р); |Q| = У (Q, Q).
Следовательно, выбрав подходящим образом скалярное произведение, мы получим возможность превратить линейное векторное пространство (в частности, пространство многочленов) в метрическое, т. е. в пространство, на котором можно измерять расстояние между любыми двумя точками. Например, расстояние между многочленами Р и Q в пространстве многочленов, заданных на отрезке [а, Ь], с метрикой или со скалярным произведением (3), равно
/™
у J (Р - Q)4x.
Но коль скоро известны расстояния между любыми двумя многочленами, то имеет смысл говорить о многочленах далеких и близких. Если нам надо заменить многочлен Р с наименьшей погрешностью другим многочленом Q, то Q целесообразно выбирать среди «близких» к Р многочленов.
Существование нескольких метрик (или нескольких скалярных произведений) на одном множестве ставит нас перед проблемой выбора: какой метрике следует отдать предпочтение перед другими. Готового ответа на этот вопрос не существует: все зависит от того, какую задачу вы собираетесь решать. То, что хорошо для одной задачи, может оказаться непригодным для другой.
19
В этом смысле ситуация с выбором метрики несколько напоминает ту, с которой мы сталкиваемся, например, в следующем случае: «На руках у человека 10 пальцев. Как удобнее считать — что у него 3 + 7 пальцев или 2 + 8?» Ясно, что ни одному из предложенных ответов заранее нельзя отдать предпочтение. Но если вы захотите сшить перчатки, то удобнее всего считать, что на руках 5 + 5 пальцев.
Рассматривая многие замечательные свойства многочленов, нельзя не упомянуть, что среди всех прочих функций, известных в математике, многочлены выделяются своей алгоритмической определенностью. Если многочлен задан, то вам не придется ломать голову над тем, как вычислить его значение при х = Хо'. рецепт (быть может, не самый экономный) содержится в записи самого многочлена. Например, если Р(х) = аоХ2 + aix + аг, то Р{хй) = = flo X Хо X Хо + fli X Хо + «о- Все остальные функции не сообщают нам ничего о том, как бы следовало их вычислять. Как же все-таки вычислить, например, sin х0, arccos Хо, In дсо?
Присмотримся повнимательнее к таблицам функций. Они содержат значения затабулированных функций лишь с некоторой погрешностью е. Это означает, что, например, таблицы логарифмов включают значения не только логарифмической (приведенные с указанной в таблицах точностью), но и любых других функций, отличающихся от логарифма не более чем на е как в одну, так и в другую сторону, т. е. всех функций, проходящих внутри «коридора» ошибок (рис. 4). Возникает мысль: а нельзя ли
У
О
X
Рис. 4. «Коридор» ошибок (все функции, графики которых проходят внутри него, неразличимы).
20
приблизить трудно вычислимую функцию более удобными для счета многочленами, целиком укладывающимися в «коридоре» ошибок? Положительный ответ на этот вопрос был получен в 1885 г. немецким математиком Карлом Теодором Вильгельмом Вейерштрассом (1815— 1897). Он доказал, что любую непрерывную на отрезке функцию можно с любой степенью точности приблизить многочленами.
Мы надеемся, что даже нашего краткого панегирика во славу многочленов (затронутая нами тема поистине неисчерпаема, и, где бы мы ни остановились, нас все равно будет терзать сожаление о нерассказанном) достаточно, чтобы понять главное: интереснее многочленов могут быть только многочлены. Об одних из наиболее интересных многочленов, носящих имя Пафнутия Львовича Чебышева, мы хотим вам рассказать.
1. ИЗВЕСТНЫЕ ПОД НАЗВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ
ЧУДАКИ — МАТЕМАТИКИ?
Человек, далекий от науки, имеет весьма смутное и, как правило, превратное представление о том, чем занимаются математики. Человек, сведущий в науке, если бы его спросили, чем занимаются математики, скорее всего ответил кратко: «Всем». Действительно, чем только не занимаются современные математики: биологией и лингвистикой, экономикой и химией, не говоря уже о традиционно проникнутой математическим духом физике! Более того, по свидетельству одного из основателей точного естествознания итальянца Галилео Галилея (1564— 1642) сама природа говорит на языке математики. «Философия написана в той величественной книге, которая постоянно открыта у нас перед глазами (я имею в виду Вселенную), но которую невозможно понять, если не научиться предварительно ее языку и не узнать те письмена, которыми она начертана,— пишет Галилей.— Ее язык — язык математики, и письмена эти суть треугольники и другие геометрические фигуры, без которых невозможно понять в ней ни единого слова: без них мы можем лишь вслепую блуждать по беспросветному лабиринту» [24, с. 119].
