Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
14
В случае сложения «обычных» векторов механики (сил, скоростей, импульсов) диагональ параллелограмма всегда принадлежит тому же множеству векторов, что и векторы-слагаемые. В случае многочленов (и тем более в случае абстрактного линейного векторного пространства) о замкнутости множества относительно операции сложения необходимо позаботиться заранее. Именно это мы и сделали, выбрав множество многочленов степени не выше п (в случае абстрактного линейного векторного пространства замкнутость его относительно операции сложения задастся аксиоматически). Стоило нам ошибиться и «не так» выбрать множество многочленов, как замкнутость могла бы нарушиться. Например, если бы мы выбрали множество многочленов строго я-й степени, то в некоторых случаях степень многочлена-суммы могла бы оказаться меньше п:
(аахп + а!**-» + ... + а») + (— ск>хп + й,**-' + ... + &„) = = (а, + б,)**-1 + ... + (а„ + й„).
Аксиомы абстрактного векторного пространства бережно сохраняют самый существенный признак «вектор-иости», при этом исключают все второстепенное и несущественное, даже если оно и кажется важным и нужным. Ни словом не обмолвившись относительно того, что представляют собой (или как определены) операции сложения элементов множества и умножения их на числа из некоторого запаса (например, из множества вещественных или комплексных чисел), определение линейного векторного пространства требует лишь, чтобы для каждых двух элементов множества существовал третий элемент множества, называемый их суммой (аксиома замкнутости относительно сложения), и для каждого элемента v множества и любого числа Л, из разрешенного запаса в множестве существовал элемент, называемый произведением kv (числа на элемент). Обе операции, задаваемые аксиоматически, воспроизводят хорошо известные свойства сложения применяемых в физике векторов и умножения вектора на число.
В зависимости от выбора чисел, на которые умножаются векторы, различают вещественные и комплексные линейные векторные пространства.
15
Задав на прямой любой отличный от нуля вектор а (рис. 2), мы сможем достичь любой точки А прямой, растянув или сжав вектор а в нужное число раз (положительное, если точка А расположена «по ходу» вектора а, и отрицательное, если точка А лежит по другую сторону от начала вектора а по сравнению с самим вектором). Но чтобы достичь точки Р, не лежащей на прямой /,
Рис. 2. Как дотянуться до любой точки плоскости Р.
одного вектора а уже мало: к нему непременно надо добавить какой-нибудь ненулевой вектор Ь, не пропорциональный вектору а (см. рис. 2). Тогда в любую точку Р плоскости мы сможем попасть, строя параллелограммы на отрезках прямых, задаваемых векторами а и Ь.
А сколько «векторов» следует взять, чтобы мы могли дотянуться до любого многочлена степени не выше п? Взяв вектор 1 и увеличив его в произвольное число раз, мы получим любые постоянные. Чтобы «дотянуться» до линейного многочлена аох -f- ai, нам необходимо к вектору 1 добавить непропорциональный вектор х, и, растянув единицу в at раз, а вектор х в аа раз, сложить их «по правилу параллелограмма»: а0х + ai- Чтобы получить квадратный трехчлен box2 -f- bix -f- &2, запас векторов {1; х) придется пополнить вектором хг. Чтобы получить многочлен степени п, нам понадобится взять п + 1 векторов {1; х; х2; ...; хп), поэтому линейное векторное про-
16
странство многочленов степени не выше п называется (п -f- 1)-мерным.
А как же все-таки быть с «длиной» многочлена и его направлением?
Одно из произведений векторов, известных в механике, называется скалярным. По определению, скалярное произведение ab двух векторов а и b равно произведе-
Рис. 3. Работа как скалярное произведение векторов силы и перемещения: Л = |f||S| cos а.
нию их длин на косинус угла между ними: | а 11 b | cos а. Например, работа постоянной силы на прямолинейном пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения: составляющая силы, перпендикулярная перемещению, работы не производит (рис. 3).
Так как косинус — четная функция (не изменяется при изменении знака угла), то безразлично, в каком направлении отсчитывать угол: от вектора а к вектору b или наоборот. Поэтому величина скалярного произведения не изменится, если поменять местами сомножители а и Ь:
а • b = |а| |b| cos а = |b| |a| cos а = b • а.
Если один из векторов растянуть или сжать
в К > 0 раз, то и скалярное произведение изменится в Я, раз:
(Я,а) b = |Я,а| |b|cos а = Я.|а| |b|cos а = Ца-Ь).
Если один из векторов заменить суммой, то скалярное произведение перейдет в сумму скалярных произведений:
(at Н- а2) b = (ai-b) + (a2-b).
17
Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат) неотрицательно:
а ¦ а = |а| |а[cos 0 = |а|2 ^ О,
и обращается в нуль только при а = 0. Стоп! Скалярный квадрат есть квадрат длины. А не воспользоваться ли этим для того, чтобы определять длины элементов в случае абстрактного векторного пространства как квадратный корень из скалярного квадрата элемента?
