Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
а) если каждым двум элементам х и у поставлен в соответствие элемент г, называемый суммой элементов хну (и обозначаемый * + .'/);
6) если каждому элементу х н каждому числу а из некоторого допустимого множества чисел поставлен в соответствие элемент ах, называемый произведением числа а на элемент х.
Операции сложения элементов множества М и умножения на числа из допустимого числового множества удовлетворяют следующим аксиомам.
II
Аксиомы сложении:
1) х + у = у + х (коммутативность);
2) (х + у) + z = х + (у + г) (ассоциативность);
3) дли каждого элемента х существует элемент, обозначаемый — х и называемый противоположным, такой, что х + (— х) = 0.
Аксиомы умножении на число:
1) \х = х (существование единицы);
2) а(Ьх) •= ab(x) (ассоциативность);
3) (а + Ь)х = аде + Ьх (дистрибутивность по сложению чисел);
4) а(х-\-у) = ах-\-ау (дистрибутивность по сложению элементов) .
В интересующем нас случае множество М — это все многочлены степени ие выше п с вещественными или комплексными коэффициентами, допустимое множество чисел — вещественней примаи или комплекснаи плоскость, операции сложении многочленов и умножении многочленов на числа определены, как обычно. Нетрудно проверить, что все аксиомы линейного векторного пространства дли многочленов выполнены.
Элементы множества, наделенного структурой линейного векторного пространства, называются векторами.
«Уж не хотите ли вы сказать,— возмущенно воскликнет, дойдя до этого места читатель, твердо знающий, что вектор — это «величина со стрелкой»,— будто многочлены самые настоящие векторы, такие, как скорость, сила, ускорение? Куда, позвольте вас спросить, в таком случае направлен многочлен ах2 -\- Ьх -\- с и какова его величина?»
Терпение, дорогой читатель, и вы увидите, что название «вектор» применительно к элементам векторного пространства вполне оправдано, а чуть дальше узнаете, как измерять углы между многочленами. Начнем с привычных всем векторов — тех самых, которые имеют и величину, и направление.
Замечательный педагог А. П. Минаков, многие годы с блеском читавший курс теоретической механики в МГУ, рекомендовал вводить понятие лектора следующим образом:
«Понятие вектора очень важное в механике, но многие студенты не знают точно, какую математическую ве-
12
личину называют вектором. Если вы спросите, что такое вектор, то, как правило, вам скажут, что это такая математическая величина, которая имеет размеры и направление.
После этого вы можете нарисовать на доске и рассказать следующее (рис. 1). Потоки автомобилей характеризуются величиной и направлением. Ведь мало сказать,
1
Рис. 1. Катастрофические последствия сложения «векторов» транспортных потоков.
\W\4J
I
что по данной улице проезжает 300 автомашин в час, нужно еще сказать, в каком направлении они едут (речь идет об улице с односторонним движением). Следовательно, по вашему определению потоки автомобилей — векторы.
Теперь представьте перекресток двух «односторонних» улиц. По одной улице проезжает 300 автомашин в час, по другой — 400. Векторы, как известно, складываются по правилу параллелограмма. Следовательно, каждый час
/3002 + 4002 = 500
автомобилей врезаются в здание, стоящее на углу перекрестка, т. е. из 700 автомобилей (300-J-400), выезжающих на перекресток, только 200 минуют его без аварий,
13
а остальные 500 образуют груду лома на тротуаре. Так? Конечно, нет. Почему? Да потому, что сложение векторов по правилу параллелограмма — это не свойство их, а элемент определения. Вектор — это такая математическая величина, которая: 1) имеет размеры; 2) характеризуется направлением; 3) складывается с себе подобной величиной по правилу параллелограмма. Последнее в определении вектора — самое важное. Потоки автомобилей характеризуются величиной и направлением, но не складываются между собой по правилу параллелограмма, и поэтому не являются векторами.
Другое дело, если два автомобиля столкнутся. Тогда они будут двигаться по диагонали параллелограмма, потому что в этом случае складываются количества движения автомобилей, а количество движения — векторная величина.
И еще один пример, подчеркивающий, что является главным в определении вектора. Представьте, что все векторы образовали сообщество векторных величин. Каждый член этого общества носит определенную форму и имеет удостоверение. Вы находитесь дома, и к вам приходят две математические величины в форме векторов и говорят: «Мы векторы». Им надо сказать: «Сложитесь». Если они сложатся по правилу параллелограмма, значит, они векторы, в противном случае — они не векторы. Таким образом, величина и направление — форма-вектора, а ее может надеть и не вектор. А вот сложение по правилу параллелограмма — это удостоверение, которое говорит о том, что данная математическая величина действительно есть вектор» [15, с. 59—61].
Если взять множество всех многочленов степени не выше п и задать на нем обычную операцию сложения многочленов (и умножения их на числа), то наши многочлены успешно выдержат «проверку на векторность»: по команде «Сложитесь» они образуют многочлен-сумму, принадлежащий рассматриваемому множеству.
