Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Функции Бесселя возникают в различных задачах чаще других специальных функций и по своим свойствам очень близки к таким элементарным функциям, как экспонента и тригонометрические функции (те и другие являются решениями лииейиых дифференциальных уравнений). Свое название эти замечательные функции получили в честь знаменитого немецкого астронома Фридриха Вильгельма Бесселя (1784—1846), о котором Ф. Кэджори писал в «Истории математики»: «Пристрастие к числам и ненависть к латинской грамматике привели его к выбору коммерческой профессии. Желая сделаться капитаном торгового судна, ои заинтересовался теорией навигации... Успех привел его к изучению астрономии... Поощренный Ольберсом, ои бросил свои мечты о богатстве, сделав выбор: бедность и звезды» [11, с. 50].
145
Условимся считать, что для целых отрицательных я величина 1/я! равна нулю. Тогда разложение функции ех можно продолжить «в обе стороны» и записать в виде-
2^ <*>
л!
Кроме того, формулу бинома Ньютона можно представить так:
т
(а + Ь)т = 5?-----апЬт~п =
V ^ ' я!(т-я)!
— апЬт-п. (56)
я!(т — я)!
Формулы (54) после продолжения запишутся в виде
'•w-2 {n+km (т) • <57>
Пусть я 4- k = /. Тогда я + 2? = я + 2 (/ — п) = — я 4-4 21, k = — я + /, и
'¦ю-^тйгЪИтГ4"- <58>
С другой стороны, заменяя в (57) я на — я, получаем V 1 /а \-п+2*
/-М-2 (-, + »>,», Ы ' <59>
Сравнивая (58) и (59) при целых я, заключаем, что
/„(о) =/_„(о). (60)
Это позволяет записать формулу (53), которую требуется доказать, в виде
F(t) ~ e»cost = ?In{a)cos nt. (61)
n
146
Докажем формулу (60). Воспользуемся разложениями (55), (56) и формулой Эйлера
pit _1_ о—И
cos / = Y ¦ (62)
Итак,
V" amcosmt
pa cost = У ,--— =
m
VT am
= A -{en + e-u)m =
m
= У! У! (—Y-l--е(2Л-т)г(. (63)
^ 4* \ 2 / k\(m — k)\ V '
m ft v '
Переставив еи и e~u в (62), получим
j_
m ft v '
(64)
Складывая отдельно левые и правые части равенств (63) и (64) и деля полученные суммы пополам, находим
F(t) = eacos( =
F{t) = e°cos< = 2 2 (±_у д bxl
m ft ' ^
= 11(})'Й(Д'-Ц, «.(»-«)<¦ (65)
rn ft
Пусть n = m — 2k, тогда m — k = n + k, m = n + 2k, и (65) преобразуется к виду
п h
2ft ]
2 J knn + k)TC0S'lt\ =
n ft
147
= In (a) cos nt,
n
что и требовалось доказать. Полагая cos t = х, получаем
еах = /о (а) + 2 2 1п (а) Т„ (х). (66)
В частности, при а = 1 находим чебышевское разложение для ех.
Задана 89. Пользуясь чсбышсвским разложением (66) н тем, что функции Бесселя вещественного аргумента М*) связаны с функциями Бесселя мнимого аргумента (54) соотношением
Mix) = i*M*),
докажите, что
cos ах = /„(и) +2 jjj (- 1)'/2.(а)г2,(х);
sinax = 2 (- 1)5/2а+.(а)7-2,.и(х).
s = 0
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ВЕЗДЕСУЩИЕ И НЕИСЧЕРПАЕМЫЕ
Только кончая задуманное сочинение, мы уясняем себе, с чего нам следовало его начать.
Блсз Паскаль. «Мысли»
Итак, окончен трудный и, надеемся, интересный путь. Мы подошли к концу нашей книги, но, разумеется, тема «Многочлены Чебышева» далеко не исчерпана: о них мы знаем теперь много больше, чем знали, но не все. Чудесные многочлены, родившиеся под мерный шум маховика паровой машины, мелькающие среди причудливых фигур Лиссажу на экранах осциллографов, поистине вездесущи, и как бы мы ни начали свой рассказ о них, у пас всегда останется в запасе множество других не менее привлекательных вариантов «зачина».
Свой рассказ о многочленах Чебышева мы могли бы начать, например, с того, как Ньютон, Грегори, Лагранж и другие пытались решить задачу об интерполяции функций, т. с. о построении приближения к ним на отрезке по значениям, принимаемым функциями в отдельных точках. При использовании равноотстоящих точек приближение даже «хорошей» функции обычными степенными многочленами наталкивается на значительные трудности. При увеличении числа точек п ошибки приближения не обязательно стремятся к нулю, хотя в выбранных точках приближающий многочлен совпадает с приближаемой функцией.
Например, при степенной интерполяции по равноотстоящим точкам на отрезке [—1, +1] даже такой простой, казалось бы, функции, как у = 1/(1 +25х2), опре-
149
деленной вместе со всеми производными на всей вещественной оси, ошибка при увеличении числа точек п неограниченно возрастает всюду, кроме самих точек деления. Лишь при переходе к тригонометрическим многочленам удается построить равномерную интерполяцию по равноотстоящим точкам, т. е. найти приближение к заданной функции, дающее ошибку одного и того же порядка на всем отрезке. Многочлены Чебышева позволяют превратить тригонометрические многочлены в степенные, сохранив при этом равномерное приближение. В этом, в частности, проявляется глубокое внутреннее родство многочленов Чебышева с тригонометрическими многочленами и рядами Фурье.
Мы могли бы начать свой рассказ о многочленах Чебышева и с того, как во время второй мировой войны английский математик Гарри Бейтмен (1882—1946), работавший в США, занимался составлением справочника по специальным функциям (так в отличие от элементарных функций, с которыми мы знакомимся в школе, принято называть функции, возникающие при решении некоторых уравнений и требующие специального изучения). Бейтмен был блестящим знатоком специальных функций и знал о них все, что можно было и стоило знать. Все сведения о литературных источниках он заносил на карточки, которые хранил в коробках из-под ботинок. Дело быстро продвигалось, но довести задуманный проект до конца Бейтмен не успел. После его смерти сокращенный вариант проекта потребовал усилий трех выдающихся знатоков и целого штата технических сотрудников и вылился в издание трех томов «Высших трансцендентных функций» и двух томов «Интегральных преобразований».
