Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
лежащим на плоскости Р и проходящим через точку В, " если она перпендикулярна к любым двум несовпадающим прямым, лежащим в плоскости Р и проходящим через точку ее пересечения с плоскостью Р.
Аналогия между геометрической задачей о построении перпендикуляра АВ и нашей задачей об отыскании линейной комбинации функций fi(x), fn(x), определяющей наилучшее приближение функции f(x), очевидна: множество всех линейных комбинаций функций fi(x), ..., fn(x) образует нечто вроде плоскости Р, функцию f(x) можно уподобить точке А, комбинация, дающая наилучшее приближение, соответствует точке В, а ошибка — длине перпендикуляра АВ.
Действительно, пусть
F (X) = cj/i (*)+... + cnfn (х)
есть та самая линейная комбинация, которая служит наилучшим приближением функции f (х).
Разность f(x) — F(x) («перпендикуляр АВ») должна быть перпендикулярна к «плоскости Р» — множеству всех линейных комбинаций функций /*(*), i = 1, п. Для этого достаточно (почему?), чтобы она была «перпендикулярна» к каждой из линейно независимых функций fs(x), т. е. чтобы
(f(x)-F(x), Цх)) ~0 при s = 1, ..., п, откуда
{f(x),fs(x))-cs(fs(x),fs(x)) =0
или
* _ -i^Hr'iV- <52>
Цх))
В числителе формулы (52) стоит «проекция» функции f(x) на функцию js(x) (а в знаменателе— квадрат длины функции fs(x)). Это и означает, что наилучшее
142
приближение к функции f (х) из всех линейных комбинаций функций fi(x).....fn(x) дает та, которая соответствует «основанию перпендикуляра», опущенного из {(х) на подпространство (fi(x), ..., fn(x)}.
Использованная нами геометрическая аналогия представляет собой частный случай геометрии бесконечномерных пространств, в которых «точками» служат функции. Бескопечномерность означает, что пространство способно вместить неограниченно много линейно независимых функций. Например, взглянув на бесконечные разложения таких функций, как экспонента, косинус, синус или логарифм, мы заметим, что они не укладываются ни в какое конечномерное пространство. Это и означает, что их способно вместить только бесконечномерное пространство. Геометрию бесконечномерных пространств функций построил замечательный немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943). Такие пространства получили название гильбертовых.
Многочлены Чебышева {Тп(х)}—лишь один из возможных ортогональных базисов в гильбертовом пространстве, хотя и весьма примечательный. Ортогональность— свойство весьма важное. Не будь его, мы были бы вынуждены пересчитывать заново все коэффициенты приближения к заданной функции при любом увеличении числа многочленов, по которым происходит разложение. Ортогональность избавляет нас от скучной и трудоемкой работы: уточнения касаются лишь «проекций» на новые многочлены, а все «проекции» на старые остаются без изменений.
СВЯЗЬ С РАЗЛОЖЕНИЕМ ФУРЬЕ
Многие свойства многочленов Чебышева следуют из «тригонометрического определения»
Тп (х) = cos (п arccos *).
143
Вычисление коэффициентов разложения функции f(x) по чебышевскому базису на основе «формулы ортогональной проекции» (52), принимающей вид
^НхЩх)
" Ai у 1-х2
сводится к вычислению коэффициентов Фурье, если воспользоваться все тем же «тригонометрическим определением». Действительно, пусть х = cos t и
F(t) = / (cos/).
Тогда F(t)—четная функция переменной t (почему?). Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье только но косинусам (почему?)
F (t) = ао/2 + ai cos / + ...-}- an cos nt -f-...
Подставляя / = arccos x, т. е. по существу используя «тригонометрическое определение» многочленов Чебышева, получаем
f(x) = 00/2 + 017"! (х) + ... + апТп(х) + ...
Таким образом, коэффициенты разложения функции f(x) по чебышевскому базису совпадают с коэффициентами Фурье вспомогательной функции F(t) = f(cost). А так как разложение по многочленам Чебышева единственно, то коэффициенты а, совпадают с коэффициентами си вычисляемыми по формуле (52). Во многих случаях этот прием облегчает вычисление коэффициентов чебышевских разложений.
Вычислим в качестве примера коэффициенты разложения функции еах по чебышевскому базису.
Докажем, что разложение вспомогательной функции F(t) = eacost в ряд Фурье имеет вид
F(t) = ea«>st = /0(а) + 2 j;In(a)cos nt, (53)
144
где коэффициентами /„(а) при косинусах служат так называемые функции Бесселя мнимого аргумента п-го порядка:
/о (а)
i+2-
(т)
2ft
(/г!)2
+2а
оо
/»(а) = J?
(тГ
ft=0
(ft + Л)
(54)
Для сокращения записи воспользуемся знаком 2 при обозиаче-
п
нни суммирования: ^ означает, что суммирование проводится по i = i
всем / от 1 до п, а ^ означает сумму по k от — оо до + оо. ft
Функции Бесселя, возникшие здесь несколько неожиданно для читателя,— не какая-нибудь математическая диковина или редкость. Оии часто встречаются в различных прикладных задачах и принадлежат к числу замечательных функций, известных под названием специальных. Возникло это название потому, что специальные функции ие сводятся к конечным комбинациям так называемых элементарных функций: многочленов, тригонометрических функций, степенной и показательной функций и логарифма, а определяются как решения некоторых (дифференциальных) уравнений, требующие особого, или специального, изучения.
