Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема Вейерштрасса принадлежит к числу так называемых чистых теорем существования; утверждая, что приближающий многочлен существует, она умалчивает о том, как его построить.
Не следует думать, что теоремы существования бесполезны: они говорят нам, что множество многочленов, отличающихся от интересующей иас функции на заданном отрезке, непусто (заранее это не очевидно). Следовательно, мы можем надеяться, что иам удастся найти приближающий многочлен. Если бы была доказана теорема о том, что приближающий многочлен не существует, то от попыток построить его пришлось бы заранее отказаться.
В курсе математического анализа доказывается, что каждая «хорошая», т. е. удовлетворяющая ряду условий,
133
функция порождает «бесконечный многочлен» — ряд Тейлора:
f(x) •*¦ а0 + аа + atf? + ..., (42)
который сходится (т. е. имеет определенный предел), причем в случае «хорошей» функции стрелку в (42) можно заменить на равенство (сумма ряда, или предел, к которому ряд сходится, совпадает с функцией, породившей ряд Тейлора).
Вот как выглядят, например, ряды Тейлора для наиболее известных функций:
т(т—1). (1 ± х)т = 1 ± тх -\---- х2 ±
, т(т—\){т — 2) ± 3! * +-'- +
т (т — 1) ... (т — п -f- 1)
+ (± 1)" —^-----'—^--^-х» ...
(т>0, \х\ < 1);
(1±^о1Тя«+ т(/П2+1} х2 + _ >п(т+1)(т + 2)_х3+ +
3!
, „ т(т + 1) ... (т + п — 1) „ ,
• + 1)п ——I-1—!--!— хп + ...
' п!
(т < 0, \х\ < 1); х х2 х3 , , хп ,
^ = 1+-тг + ^г + -зГ + ..-+^г + ---;
i -Г jl -г 2! ^
134
. (х\па)з (xlna)"
х3 х5
sin х = х--——I---... 4-
3! ^ 5! ^
х2п+\
+ (-1)п12мЛ)Т+---:
х* , х4 х«
cos х = 1--------(- 4.
2! ^ 4! 6! ^ ^
In (14-х) =х- —+ ---Г + ..- +
+ + (43)
(- 1<х< 1).
Выбирая более или менее длинный отрезок ряда, мы получаем многочлен, приближающий функцию с заданной точностью. Вычисление ряда Тейлора по заданной функции не составляет труда для тех, кто умеет дифференцировать, т. е. находить по функции производную: коэффициент при хп в разложении равен f<n)(0)/n!, где f(n>(0) —значение тг-й производной от функции $(х) при х = О, а п\ = 1 • 2 • • -п.
Казалось бы, путь к желанной цели открыт: мы располагаем не только теоремой Вейерштрасса, гарантирующей существование приближающего многочлена, но и способом, позволяющим построить по заданной функции приближающий ее многочлен. Если говорить о принципиальной стороне дела, то знание ряда Тейлора действительно позволяет нам вычислить значение функции
135
в любой точке из области ее определения с любой точностью. Но практическая сторона таких вычислений оставляет желать лучшего: для достижения требуемой точности иногда приходится брать много членов ряда Тейлора (в таких случаях говорят, что ряд Тейлора сходится медленно). Возникает вопрос, который П. Л. Чебышев назвал общим для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды? Применительно к задаче о вычислении значений функции это означает: как найти многочлен, приближающий заданную функцию с требуемой точностью, но более короткий, чем отрезок ряда Тейлора, обеспечивающий ту же точность приближения?
Найти более удобное для вычислений приближение функции нам помогают многочлены Чебышева Th{x). Оказывается, что разложение по Th{x) сходится быстрее, чем но хк и по любым другим многочленам. Значит, для достижения одной и той же точности разложение по Ти{х) можно оборвать на члене с меньшим номером, чем разложение по х'К После того как линейная комбинация многочленов Чебышева, дающая требуемую точность, найдена, можно собрать все члены одной степени х'1, т. е. переразложить полученное приближение по степенному базису, и работать с ним, как с обычным многочленом. Вот как это делается.
Предположим, что нам требуется вычислить In 2. За неимением таблиц и прочих вычислительных средств обращаемся к разложению 1 п (1 + х) в ряд Тейлора (43) и подставляем х — 1. Ряд (43) сходится очень медленно. Отрезок нз первых пяти его членов имеет вид
v2 уЗ у4 у5
ln(l + *)«*--^- + -^--iL + -jL. (44) Подставляя вместо х, х2, ..., хъ их выражения через
136
многочлены Чебышева (см. задачу 85), переразлагаем правую часть представления (44) по чебышевскому базису:
1п(1 +х) « 1\(х) -1-(Т0(х) +П(х)) + + у2-(ЗГ1(х) + ВД) -- -L (ЗВД + 4Т,(х) + П(х)) + + -^-(10П{х)+5Та(х)+Т,{х)) = = - ~- П(х) + -~ Щх) - {- ЭД +
+ (45)
При д: = 1 отбрасывание последнего члена в разложении (44) изменяет значение In 2 на 1/5. Отбрасывание трех последних членов в разложении (45) изменяет это значение меньше, чем па
7 1 1 19 1
I Of! "I OA 1п QO
48 ¦' 32 1 80 15-32 5,2
(мы воспользовались здесь тем, что |7ft(x)| 1 на [—1, +1]). Следовательно, при вычислении In 2 чебы-шевское приближение
1п(1 + х) « - - ~- Го(х) +JLTl(x)--^- П(х) (46)
дает более точный результат, чем разложение (44). Чебышевское разложение можно снова превратить
