Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
рп (х) = bo + biX + ... -f bnxn,
то линейная комбинация
\рп (х) — bo — biX — ... — bnxn
тождественно равна нулю, хотя коэффициент при рп{х) отличен от нуля (равен единице).
На линейной независимости стандартных многочленов основано, в частности, часто используемое в различного рода расчетах определение равенства двух многочленов: два многочлена тождественно равны в том (и только в том) случае, если равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного.
Задача 82. Докажите, что при любом л > О и k = О, 1, я многочлен хк не представим в виде линейной комбинации остальных стандартных многочленов.
Задача 83. Докажите, что при любом п ^ 0 многочлены Чебышева первого рода Тп (х) линейно независимы.
Задача 84. Докажите, что при любом п > 0 многочлены Чебышева второго рода Un(x) линейно независимы.
При любом п ^ 0 пространство многочленов степени не выше п содержит п -f- 1 линейно независимых многочленов (так как по доказанному стандартные многочлены 1, х, ..., хп, а их п + 1, линейно независимы). В то же время пространство многочленов степени не выше п не
130
содержит более чем п + 1 линейно независимых многочленов (так как любой многочлен степени не выше п представим в виде линейной комбинации стандартных многочленов; присоединив же к стандартным многочленам 1, х, ..., хп любую их линейную комбинацию, мы по доказанному получим систему линейно зависимых многочленов). Следовательно, п + 1—наибольшее число линейно независимых многочленов в пространстве многочленов степени не выше п.
По определению наибольшее число линейно независимых элементов (векторов на плоскости, многочленов и т. д.) линейного векторного пространства называется его размерностью. Следовательно, размерность пространства многочленов степени не выше п равна п + 1.
Система из k линейно независимых элементов &-мер-ного линейного векторного пространства называется базисом. Так, из доказанного выше и задач 79 и 80 следует, что {xh}, {Tk{x)} и {1, Un(x)} при k — 0, 1, п есть базисы в пространстве многочленов степени не выше п (базис {хк} называется степенным, базис {Th(x)} — че-бышевским).
Так как любой базис содержит максимально возможное число линейно независимых многочленов, то присоединив к нему любой многочлен из другого базиса, мы получим линейно зависимые многочлены. Нетрудно доказать, что присоединенный многочлен представим в виде линейной комбинации многочленов первого базиса (или, как принято еще говорить, допускает разложение по многочленам первого базиса).
Задача 85. Докажите, что справедливы следующие разложения: 1 = То(х); х = П(х); 1/2(Г0(*) + ВД); ^=1/4(ЗГ,(х)+Г3(х));
б*
131
** = 1/8(37"о(х) +47"2(х) + ад); х*= 1/16(107-, {х) +57-3(х) + 7\,(.v)).
Задача 86. Докажите, что стандартные многочлены х2Н при k = 0, 1, ... допускают разложение по многочленам Чебышева пер-. вого рода четных степеней, a x2h+l — по многочленам Чебышева первого рода нечетных степеней.
Задача 87. Разложите но многочленам Чебышева первого рода многочлены Чебышева второго рода.
Итак, любой многочлен степени не выше п может быть разложен по базису. Единственно ли такое разложение? О единственности разложения по степенному базису мы уже говорили: два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, если равны коэффициенты при соответствующих степенях неизвестного.
Предположим, что некоторый многочлен р{х) допускает неедииствеииое разложение по чебышевскому базису {Th(x)}, т. е.
р(х) = АаТа(х) + ... + АпТп(х) = = В0То(х) + ... + ВпТп{х),
где Ah ф Вк по крайней мере при одном k = 0, 1, ..., п. Это означало бы, что существует тождественно равная нулю линейная комбинация многочленов Чебышева Th{x)
{А0 - Во) Т0{х) + ...+ {Ап- Вп)Тп {х),
у которой по крайней мере один коэффициент Ak — Bk отличен от нуля. Но это противоречит линейной независимости многочленов Тк{х). Следовательно, любой многочлен допускает единственное разложение по чебышевскому базису.
ЧЕБЫШЕВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Итак, любой многочлен мы всегда можем представить в виде линейной комбинации многочленов Чебышева (как, впрочем, и любых других многочленов, образующих базис в линейном пространстве многочленов). «Мо-
132
жем-то можем,— заметит скептически настроенный читатель,— но для чего это нужно? Разве степенного базиса нам недостаточно?» «Смотря для чего»,— ответим мы.
Тем не менее, вопрос о выборе наиболее удобного базиса не так прост, и ответ на него зависит от того, какую задачу мы собираемся решать. Так, во многих случаях чебышевскнн базис обладает неоспоримыми преимуществами перед всеми другими базисами многочленов, в том числе и перед степенным базисом. К числу задач, в которых чебышевский базис оказывается более удобным, принадлежит важная задача о вычислении значений различных функций.
Действительно, как бы мы стали вычислять lg 12,083 или sin 173,25, если бы у нас под рукой не оказалось ни таблиц, ни микрокалькуляторов с кнопками lg и sin, ни тем более «настоящей» ЭВМ со стандартными программами для вычисления логарифма и синуса? Во введении мы упоминали о теореме Вейерштрасса, утверждающей, что для каждой «хорошей» функции па отрезке найдется многочлен, отличающийся от нее в любой точке отрезка на величину, не превосходящую допустимого отклонения. Это действительно так. Беда лишь в том, что теорема Вейерштрасса ничего не говорит о способе построения приближающего, или аппроксимирующего, многочлена.
