Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
8
представить в виде явной функции коэффициентов уравнения (но для вычисления корня над коэффициентами уравнения потребуется произвести, вообще говоря, бесконечно много рациональных действий, т. е. операций сложения, вычитания, умножения и деления). Явные формулы для вычисления корней при отказе от конечности числа операций приведены в [10].
Теорема Абеля отрицала возможность решить в радикалах общее алгебраическое уравнение степени выше 4, но не позволяла сделать вывод о разрешимости конкретного уравнения с заданными числовыми коэффициентами. Необходимые и достаточные условия разрешимости (но не формулу, выражающую корни через коэффициенты) алгебраического уравнения произвольной степени с заданными коэффициентами вывел в 1830 г. французский математик Эварист Галуа (1811—1832). Так, изучение многочленов привело к рождению одного из важнейших понятий современной математики — понятия группы, к построению теории групп, ставшей одним из наиболее универсальных инструментов познания природы.
Приведем лишь один пример. Частица, известная под скромным
названием «аитисигма — минус — гиперон» (2~-гиперон) была открыта, после того как ее предсказали, из теоретико-групповых соображений.
Узнав все, что стоило знать об индивидуальном многочлене, математики перешли к изучению свойств операций, производимых на множестве многочленов, и тут произошло, пожалуй, самое удивительное: оказалось, что многие операции можно изучать независимо от того множества, которое первоначально было их носителем. Подобно улыбке Чеширского кота из знаменитой сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес», операции продолжали жить своей жизнью (да еще какой яркой!), после того как породившее их множество исчезало.
Замечательный немецкий математик Эмми Нётер
9
(1882—1935) научила своих коллег повой науке — абстрактной алгебре, в которой основное внимание уделялось свойствам операций, задаваемых аксиоматически. Такой подход позволял изучать операции «в чистом виде», без примеси индивидуальных свойств множества-носителя, и, следовательно, доказывать универсальные теоремы, применимые к любому множеству, удовлетворяющему нужным аксиомам. Иными словами, с точки зрения абстрактной алгебры (воспринятой впоследствии и другими разделами математики) важно не само множество, а его структура — отношения между элементами, задаваемые перечнем аксиом.
Особенно много сделал для развития структурного подхода Никола Бурбаки, охарактеризовавший значение этого направления так: «Структуры являются орудиями математика; каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он был бы должен мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы» [6, с. 106—107].
Один из выдающихся математиков современности, создатель многотомного курса «Элементы математики», Никола Бурбаки известен в основном тем, что ... никогда не существовал! Никола Бурбаки— собирательный псевдоним группы французских ученых, объединявшей в различные годы (с 1939 г.) различных математиков.
Группа — один из примеров математической структуры.
Множество многочленов может быть наделено раз-
10
личными структурами. Например, задав в множестве многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами— безразлично) две операции (сложение и умножение) так, чтобы те обладали всеми привычными свойствами сложения и умножения чисел, мы получим кольцо многочленов.
Если Р, Q, Л —любые многочлены, принадлежащие рассматриваемому множеству, то операции сложения н умножения должны обладать следующими свойствами:
1) Р + Q = Q + Р (от перемены мест слагаемых сумма не изменяется — коммутативность сложения);
2) Р + (Q + R) = (Р + Q) + R (сумма не зависит от того, в какой последовательности производится сложение,— ассоциативность сложения);
3) PQ = QP (от перемены мест сомножителей произведение не изменяется — коммутативность умножения);
4) P(QR) = (PQ)R (произведение не зависит от последовательности, в которой производится умножение,— ассоциативность умножения) ;
5) обе операции связаны правилом, позволяющим раскрывать скобки: (Р + Q)R = PR + QR (закон дистрибутивности).
В общем случае абстрактного кольца операции, называемые умножением и сложением, могут внешне не походить на привычные сложение и умножение чисел, но обязаны обладать свойствами 1—5.
Для нас в дальнейшем более важной будет другая структура, также образуемая многочленами,— структура линейного векторного пространства.
Как н любая другая математическая структура, линейное векторное пространство определяется аксиоматически. Множество М элементов х, у, 2, ... (не обязательно многочленов) называется линейным векторным пространством в следующих^лучаях:
