Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
5
и комплексную плоскость придется расширить так же, как пришлось расширять вещественную прямую?
3 самом конце XVIII века — в 1799 г.— немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) дал ответ на этот вопрос в своей докторской диссертации, доказав теорему, получившую название основной теоремы алгебры (комплексных чисел): всякий многочлен с любыми (вещественными или комплексными) коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
Значит, необходимости в расширении комплексной плоскости нет: запаса комплексных чисел вполне достаточно для решения любого алгебраического уравнения вида
Рп{г) = 0.
Гаусс доказал, что каждый многочлен имеет хотя бы один комплексный или вещественный корень. А сколько всего корней может иметь многочлен п-й степени {п ^ 1)? Может ли он иметь, например, п + 5 или п — 3 корней? Оказывается, не может: из основной теоремы алгебры следует, что всякий многочлен степени п ^ 1 с любыми коэффициентами имеет п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Действительно, по основной теореме алгебры любой многочлен Рп (х) = а0хп + ai*"-1 + ... + an-ix + ап
степени и ^ I имеет по крайней мере одни корень ui. Следовательно, его можно представить в виде
Рп(х) = (х — ai)Pn-i(x),
где Pn-i(x) —многочлен степени и — 1. По основной теореме алгебры многочлен Pn-i(x) в свою очередь также имеет по крайней мере один корень и2, и поэтому
РП(Х) = (X-(n)Pn-l(x) = (X - Щ)[(Х - U2)Pn-l(X)] = = (X — Щ)(Х — U2)Pn-2(X).
6
При каждом обращении к основной теореме алгебры мы отделяем от исходного многочлена линейный множитель. Так как степень п исходного многочлена конечна, мы после определенного числа шагов придем к разложению Рп(х) в произведение п линейных множителей:
Рп(х) = а„(х — at)(x — а2) ... (л—а„).
Можно доказать, что это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.
Если корень а встречается к раз, то говорят, что а имеет кратность к. В разложении многочлена Р,,(х) такому корню соответствует множитель (х — а)к.
Это утверждение верно и при п = 0: многочлен нулевой степени имеет 0 корней. Исключение составляет только многочлен, тождественно равный нулю: он обращается в нуль при всех значениях независимого переменного.
Основная теорема алгебры позволяет ответить и па вопрос о том, в скольких точках могут совпадать значения двух многочленов Р(х) и Q(x): если многочлены Р(х) и Q(x), степени которых не выше п, принимают равные значения более чем в п точках, то они тождественно равны, т. е. Р(х) s=a Q(x).
Действительно, степень многочлена Р(х) —Q(x) не выше «, так как степень каждого из многочленов Р(х) и Q(x) не превосходит п. По следствию из основной теоремы алгебры многочлен Р(х) —Q(x) может иметь не более п корней. Так как он принимает нулевые значения более чем в п точках, многочлен Р(х)—Q(x) тождественно равен нулю. Следовательно, Р(х) = Q(x).
Это означает, что если Р(х) ф Q(x), то в любом бесконечном множестве чисел, комплексных или вещественных, непременно найдется бесконечно много таких, в которых Р(х) и Q(x') принимают различные значения (так как различные многочлены Р(х) и Q{x) степени не выше п не могут совпадать более чем в п точках).
Существуют и другие, не менее важные следствия из основной теоремы алгебры. Некоторыми из них нам предстоит пользоваться в дальнейшем, и вы сможете оцепить их но достоинству.
7
Изучение многочленов обогатило математику, позволило расширить понятие числа и доказать основную теорему алгебры.
Теорема Гаусса гарантирует существование по крайней мере одного корня у любого многочлена степени п ^ 1, но ничего не говорит о том, как найти корень. Это — яркий пример теоремы существования. Правда, к концу XVII века, когда Гаусс доказал свою знаменитую теорему, в арсенале математики имелось немало методов приближенного, численного решения алгебраических уравнений, позволявших находить корни многочленов с любой заранее заданной точностью. Но одна важная задача по-прежнему оставалась нерешенной.
Дело в том, что математики долго и безуспешно пытались решить в радикалах алгебраические уравнения высоких степеней, т. е. вывести формулу, которая позволила бы выразить корни многочлена через его коэффициенты с помощью конечного числа четырех арифметических действий и операций извлечения радикалов так же, как хорошо известная формула
— Ь ± У Ьг — 4ас 2а
позволяет выразить корни квадратного трехчлена ах2 -f-+ Ьх + с = 0 через его коэффициенты.
Надеждам математиков найти общую формулу такого же рода не суждено было сбыться: в 1824 г. норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802—1829) доказал, что общее алгебраическое уравнение степени выше 4 не разрешимо в радикалах, и заодно выяснил, почему алгебраические уравнения степени не выше 4 разрешимы в радикалах.
Если отказаться от обременительного требования конечности числа операций, то любое алгебраическое уравнение становится разрешимым: любой его корень можно
