Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
4г = АХ. . (77)
Определим сопряженную систему уравнений
dx
dx
А**(тГ = - A^)> (78)
где A+ — транспонированная матрица А.
Очевидно, если Xj и Xj — решения соответственно уравнений (77) и (78), то
--•(XjXj) = O, XjXj -const. (79)
Аі и Ат?г (80)
Операторам
А -
dx " " dx*
сопоставим, как обычно, сопряженные операторы
_AfJ_ ^ Af odA+ d d2A+
А її - dx и A d^+^-driT + -^-- (81)
Перепишем также уравнение (76) в более удобном виде:
ЕХ = (11 ~ А) Х - (в* І - А») Х* - 0. (82)
где I — единичная (диагональная) матрица.
Предположим, что существует такая комбинация
Z = LjXj = LX9 (83)
которая в силу уравнений (77) удовлетворяет уравнению второго порядка
OZ = (^ + ?i + C)V0 = 0' (84)
160
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
где В и С — некоторые известные функции х. Задача теперь заключается в построении алгоритма, который позволит найти частные решения уравнений (77), делающие возможной такую редукцию.
Более того, можно предположить, что существуют т комбинаций
Za = LajXj(a = 1, . ..,m, /=1, ...,д, 2т<я), (85) которые удовлетворяют системе т уравнений
(6a?^ + ?a?A + Ca?)Z? = 0 (a=l,...,m), (86)
где ?a? и Ca? — некоторые известные функции х. Мы ограничимся, однако, исследованием более простого случая, когда существует только одна комбинация. В общем случае не требуется никаких новых идей по сравнению с этим простым случаем, но нужно обобщить некоторые понятия и термины.
Тот факт, что уравнение (84) удовлетворяется в силу справедливости уравнения (82), означает, что должно существовать определенное операторное тождество. Действительно, дифференцируя (83), получаем
W = ІL>XJ = № + Ми) xi = Г^> (87)
где
Г, = ^ + LhAhh Г = dL/dx + LA, (88)
а дифференцирование уравнения '(87) дает
Подставляя полученные выражения для производных Z в уравнение (84), получаем
OZ = (?- + TkAkj + BY1 + CL1) Xj = 0, (90)
откуда следует тождество
dT/dx + ГА + ЯГ + CL = 0. (91)
Найдем теперь оператор S, удовлетворяющий операторному уравнению
SE = OL, (92)
которое в координатной записи имеет вид
Sk («ад ? - Au1) *,= (? + В ± + с) LjXj. (93)
Ж. ~Теорема о частных решениях и приводимости
161
Для определения S вычислим правую часть уравнения (93) для случая, когда Xj удовлетворяет неоднородному уравнению
(94)
dXj/dx = A)hXh+Aj. Имеем (ср. с уравнением (87))
dZ/dx = Y1Xj + LjA,;
С помощью тождества (91) затем находим OZ = OLjXj = (-?- + L1^ + BL1 + Г,) Л, =
Сравнение с уравнением (92) показывает, что
(95) (96)
dL
Оператор
Ax
+ _^ + ?L + r.
S+ = -L+A + ?Lt + rt
является сопряженным к оператору S. Рассмотрим теперь столбец
Xj = S^ = -Lj^ + (BLj + Tj)f (/=1,
(97)
(98) (99)
,"), (100)
где ф — некоторая функция х. Предположим, что эти п уравнений однозначно определяют ф и производную фг х. Это возможно тогда и только тогда, когда матрица (3Xn)
X1 +L1 -(BL1IT1)
X2 +L1 -(BL2 + T2)
Xn +Ln -(BLn+ Tn) или, что эквивалентно, матрица
X1 L1 T1 Xn Lo Fo
(101)
Xn Ln Tn
(102)
6 Чандрасекар С.
162
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
(іфіфкфі),
(103)
dx
имеет ранг 2, т. е. все детерминанты третьего порядка
Xt L1 T1 Dijk = Xj Lj Tj Xu Lk Tk
построенные из любых трех строк матрицы (102), равны нулю. Покажем, что если Xj удовлетворяют сопряженной системе уравнений
dXj/dx^—AhJXk9 (104)
то детерминанты (103) равны нулю всюду, если только они равны нулю в какой-нибудь одной точке х. Продифференцируем детерминанты Dijh, подставим производные X, L и Г из уравнений (1O4), (88) и (91) соответственно и в результате получим
X1 (Y1 - L1An) T1 Di!k= -A11X1 Lj Ti + Xj (Tj-L1A1J) T1 +
Xk (Tj1-L1A1U) Tk Li -(T1An+ BTi+ CL1) Lj -(T1A1J + BTj + CL1) Lk -(T1A1U +BTk + CLk)
Xi Li Ті - Аи X1 L1 T1 Xu Lk Tk Xi L1 T1 -Alh Xj Lj T1 -BDUk. (105) X1 L1 T1
Следовательно,
±Dtlh = - AnD11H - AuDllh - A111D1J1 - BDm, (106)
и мы приходим к заключению, что, если все детерминанты третьего порядка Dijk равны нулю, их производные также равны нулю.
Не теряя общности, можно предположить, что ф а ф,х определяются первой парой уравнений (100) (/= 1, 2). Рассмотрим (п — 2) детерминанта
D12a (а = 3, .... п). (107)
-A11X1 L1 T1 -A11X1 Lj T1
— Aik Xi Lu Th X1
Xj
Хи
= -Ап
X1
L1
T1
Xj
Lj
Г/
Xk
Lh
Vk
25. Теорема о частных решениях и приводимости
163
Поскольку любой детерминант Dijk может быть представлен в виде линейной комбинации детерминантов D12a (с коэффициентами, не зависящими от X7-), уравнение (106) можно переписать в виде
^ D12a - <7a??>i2? (а = 3, . . ., n), (108)
где qap — коэффициенты, не зависящие от X7-, явный вид которых известен. Уравнения (108) гарантируют, что вследствие (104) детерминанты D12a будут равны нулю всюду, если они равны нулю в какой-либо одной точке.