Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр: в 2-х томах" -> 56

Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-х томах — M.: Мир, 1986. — 276 c.
Скачать (прямая ссылка): mathem-theory.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 97 >> Следующая


4г = АХ. . (77)

Определим сопряженную систему уравнений

dx

dx

А**(тГ = - A^)> (78)

где A+ — транспонированная матрица А.

Очевидно, если Xj и Xj — решения соответственно уравнений (77) и (78), то

--•(XjXj) = O, XjXj -const. (79)

Аі и Ат?г (80)

Операторам

А -

dx " " dx*

сопоставим, как обычно, сопряженные операторы

_AfJ_ ^ Af odA+ d d2A+

А її - dx и A d^+^-driT + -^-- (81)

Перепишем также уравнение (76) в более удобном виде:

ЕХ = (11 ~ А) Х - (в* І - А») Х* - 0. (82)

где I — единичная (диагональная) матрица.

Предположим, что существует такая комбинация

Z = LjXj = LX9 (83)

которая в силу уравнений (77) удовлетворяет уравнению второго порядка

OZ = (^ + ?i + C)V0 = 0' (84)

160

Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда

где В и С — некоторые известные функции х. Задача теперь заключается в построении алгоритма, который позволит найти частные решения уравнений (77), делающие возможной такую редукцию.

Более того, можно предположить, что существуют т комбинаций

Za = LajXj(a = 1, . ..,m, /=1, ...,д, 2т<я), (85) которые удовлетворяют системе т уравнений

(6a?^ + ?a?A + Ca?)Z? = 0 (a=l,...,m), (86)

где ?a? и Ca? — некоторые известные функции х. Мы ограничимся, однако, исследованием более простого случая, когда существует только одна комбинация. В общем случае не требуется никаких новых идей по сравнению с этим простым случаем, но нужно обобщить некоторые понятия и термины.

Тот факт, что уравнение (84) удовлетворяется в силу справедливости уравнения (82), означает, что должно существовать определенное операторное тождество. Действительно, дифференцируя (83), получаем

W = ІL>XJ = № + Ми) xi = Г^> (87)

где

Г, = ^ + LhAhh Г = dL/dx + LA, (88)

а дифференцирование уравнения '(87) дает

Подставляя полученные выражения для производных Z в уравнение (84), получаем

OZ = (?- + TkAkj + BY1 + CL1) Xj = 0, (90)

откуда следует тождество

dT/dx + ГА + ЯГ + CL = 0. (91)

Найдем теперь оператор S, удовлетворяющий операторному уравнению

SE = OL, (92)

которое в координатной записи имеет вид

Sk («ад ? - Au1) *,= (? + В ± + с) LjXj. (93)

Ж. ~Теорема о частных решениях и приводимости

161

Для определения S вычислим правую часть уравнения (93) для случая, когда Xj удовлетворяет неоднородному уравнению

(94)

dXj/dx = A)hXh+Aj. Имеем (ср. с уравнением (87))

dZ/dx = Y1Xj + LjA,;

С помощью тождества (91) затем находим OZ = OLjXj = (-?- + L1^ + BL1 + Г,) Л, =

Сравнение с уравнением (92) показывает, что

(95) (96)

dL

Оператор

Ax

+ _^ + ?L + r.

S+ = -L+A + ?Lt + rt

является сопряженным к оператору S. Рассмотрим теперь столбец

Xj = S^ = -Lj^ + (BLj + Tj)f (/=1,

(97)

(98) (99)

,"), (100)

где ф — некоторая функция х. Предположим, что эти п уравнений однозначно определяют ф и производную фг х. Это возможно тогда и только тогда, когда матрица (3Xn)

X1 +L1 -(BL1IT1)

X2 +L1 -(BL2 + T2)

Xn +Ln -(BLn+ Tn) или, что эквивалентно, матрица

X1 L1 T1 Xn Lo Fo

(101)

Xn Ln Tn

(102)

6 Чандрасекар С.

162

Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда

(іфіфкфі),

(103)

dx

имеет ранг 2, т. е. все детерминанты третьего порядка

Xt L1 T1 Dijk = Xj Lj Tj Xu Lk Tk

построенные из любых трех строк матрицы (102), равны нулю. Покажем, что если Xj удовлетворяют сопряженной системе уравнений

dXj/dx^—AhJXk9 (104)

то детерминанты (103) равны нулю всюду, если только они равны нулю в какой-нибудь одной точке х. Продифференцируем детерминанты Dijh, подставим производные X, L и Г из уравнений (1O4), (88) и (91) соответственно и в результате получим

X1 (Y1 - L1An) T1 Di!k= -A11X1 Lj Ti + Xj (Tj-L1A1J) T1 +

Xk (Tj1-L1A1U) Tk Li -(T1An+ BTi+ CL1) Lj -(T1A1J + BTj + CL1) Lk -(T1A1U +BTk + CLk)

Xi Li Ті - Аи X1 L1 T1 Xu Lk Tk Xi L1 T1 -Alh Xj Lj T1 -BDUk. (105) X1 L1 T1

Следовательно,

±Dtlh = - AnD11H - AuDllh - A111D1J1 - BDm, (106)

и мы приходим к заключению, что, если все детерминанты третьего порядка Dijk равны нулю, их производные также равны нулю.

Не теряя общности, можно предположить, что ф а ф,х определяются первой парой уравнений (100) (/= 1, 2). Рассмотрим (п — 2) детерминанта

D12a (а = 3, .... п). (107)

-A11X1 L1 T1 -A11X1 Lj T1

— Aik Xi Lu Th X1

Xj

Хи

= -Ап

X1
L1
T1

Xj
Lj
Г/

Xk
Lh
Vk

25. Теорема о частных решениях и приводимости

163

Поскольку любой детерминант Dijk может быть представлен в виде линейной комбинации детерминантов D12a (с коэффициентами, не зависящими от X7-), уравнение (106) можно переписать в виде

^ D12a - <7a??>i2? (а = 3, . . ., n), (108)

где qap — коэффициенты, не зависящие от X7-, явный вид которых известен. Уравнения (108) гарантируют, что вследствие (104) детерминанты D12a будут равны нулю всюду, если они равны нулю в какой-либо одной точке.
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed