Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
( 1-)7(+)
где
1/(+) = 2 Ar"5 (nr + ЗМ)~2 [п2 (п + 1) г3 + + 3MnV2 + 9M2nr + 9M9I
(62)
(63)
Уравнение (62) было впервые получено (совершенно другим способом) Церилли и поэтому часто называется уравнением Церилли.
С помощью введенных выше операторов Л (см. уравнения (29) и (30)) перепишем уравнение (62) в следующем виде:
27(+)
A2Z
(+)7(+)
V™Z
(64)
В табл. 2 затабулирован потенциал V(+) для / = 2, 3, 4, а соответствующие кривые показаны на рис. 12. Сравнение таблиц для V{+) и ]/(-> показывает, что потенциальГчрезвычайно мало отличаются во всей области изменения г#> несмотря на то, что формулы (28) и (63), их описывающие, столь различны.
Потенциальный барьер К+) значениях I и п
Таблица 2
для полярных возмущений при различных
г/М
Z= 2 Ti= 2
/= 3 м= 5
/= 4 п= 9
г/М
/= 2 м= 2
/= 3
м= 5
/= 4 м= 9
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,2 3,4 3,6
0
0,04183 0,07311 0,09647 0,11383 0,12660 0,13584 0,14235 0,14673 0,14946 0,15089 0,15094 0,14848 0,14452
0
0,10289 0,18018 0,23805 0,28106 0,31263 0,33536 0,35122 0,36171 0,36802 0,37106 0,37003 0,36272 0,35172
0
0,18766 0,32809 0,43272 0,51004 0,56639 0,60656 0,63420 0,65211 0,66246 0,66691 0,66314 0,64827 0,62355
3,8 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
0,13970 0,13443 0,12079 0,10787 0,08617 0,06974 0,05734 0,04786 0,04050 0,03002 0,02310 0,01832 0,01487 0,01231
0,33866 0,32458 0,28876 0,25542 0,20054 0,15993 0,12988 0,10728 0,08997 0,06575 0,05005 0,03934 0,03172 0,02611
0,60225 0,57591 0,50974 0,44891 0,34997 0,27758 0,22444 0,18475 0,15449 0,11239 0,08527 0,06685 0,05379 0,04420
//. Завершение решения. Зная решение уравнения второго порядка (61) для Z<+>, решение для функций L, X и N можно по-
24. Возмущения метрики
157
лучить в квадратурах. Для этого перепишем уравнение (47) в виде
?(*-"L)=-nr?(re-"V). (65)
Если теперь вместо V подставить соотношение
V = (nr + ЗМ) Z<+V3Mr + rL/ЗМ, (66)
получим уравнение
(1 + пг/ЗМ) d (r2e~vL)/dr = — (nr/ЗМ) d [e~v (nr + ЗМ) Z(+)]/dr. (67)
з,он
Рис. 12. Потенциальные барьеры, окружающие шварцшильдовские черные дыры, для случая полярных возмущений. Около кривых указаны соответствующие значения /.
Это уравнение дает следующее интегральное соотношение:
г2е~
nr d г —V
(nr + Ш) dr
[e-v(w- + 3M)Z(+)]dr, (68)
которое после интегрирования по частям принимает вид
r2e^L = — nre~vZ{+) + 3Mn j e~v (nr -f- 3M)-1 Z(+) dr. (69) Вводя функцию
ф = пе1 J e~v (nr + ЗМ)-1 Zi+) dr, (70)
получим решение для L:
L —(n/r) Z<+> + (ЗМ/r2) Ф. (71)
158
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Уравнение (66) дает решение для X:
X = (n/r) (Z<+) + Ф). (72)
Следствием решений (71) и (72) является соотношение
L + X = (Vr2) (nr + ЗМ) Ф. (73)
Вернемся к уравнению (60). Подставляя в него Vyr (= ХіГ/п) из уравнения (57), получим
_ Г_!___м м* + gm і . х) я +і л
" L r-2M г (г -2M) i_ г (г-2M)* J ^ < _t_ г - 2М ^
, 3Af (г- 2M) v л^-ЗМ^г-ЗМ2 ,, Vv /7Jv
+ «г(/іг + зм)^--(пТ+т2—( + >' (7}
Упрощая это последнее уравнение и подставляя решения для L (71) и (L + X) (72), находим следующее решение для N:
»-^«-^["+"«•+•f+'i']^+
Формальное решение основных уравнений на этом заканчивается. Волновые уравнения для функций Z<+> и Z<~> мы рассмотрим в § 26 и 27.
25. Теорема о частных решениях и приводимости системы линейных дифференциальных уравнений
Исследуя в § 24 полярные возмущения, мы обнаружили, что решение системы трех линейных уравнений (уравнения (52) — (54)) для трех функций N9 L и X может быть сведено к решению одного уравнения второго порядка для определенной комбинации этих функций, которую мы обозначили Z<+). Эту приводимость мы проверили прямым вычислением, но ее причина из-за сложности потенциала в волновом уравнении для Z(+> осталась скрытой целой серией чудесных сокращений в наших вычислениях. В настоящем параграфе мы попытаемся обнаружить происхождение этих таинственных совпадений.
В принципе в самом факте приводимости системы линейных уравнений к системе более йизкого порядка нет ничего необычного: этого всегда можно достичь, если заранее известны одно или несколько частных решений. Упрощение же нашей системы уравнений достигнуто без знания какого-либо решения. Возникает вопрос,
25. Теорема о частных решениях и приводимости
159
можем ли мы, зная о приводимости системы линейных уравнении к системе более низкого порядка, построить алгоритм для нахождения частных решений, которые сделали возможной редукцию. Такой алгоритм был недавно построен Ксантопулосом. Мы кратко опишем процедуру, поскольку она нам пригодится и в других, случаях.
Рассмотрим систему п линейных уравнений
dXj/dx = AJhXh (j=l, ...9п), (76)
где Ajk — некоторые известные функции X и подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Обозначив через X вектор-столбец с компонентами Xj, а через А — матрицу размерности (пХп) с компонентами Ajk, можно переписать уравнение (76) в матричном виде: