Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Производная по направлению и внутренняя производная от вектора связаны, таким образом, соотношением
А{а), о) - А{а), (о - л(я) {т)У(п) (а) (Ь)А{т). (261)
Из определений (260) следует, что можно легко переходить от внутренних производных к ковариантным производным и обратно.
Понятие внутренней производной векторного поля очевидным образом распространяется на тензорные поля. Например, внутренняя производная от тензора Римана равна
R (a) (L) (с) (d) I (/) = Rijki; тЄ\а)Є{ь)Є%)Є{(і)Є™)- (262)
Расписывая соотношение
R(a) (L) (с) (d) I (/) = [Rijkie\a)?[h)?(c)^(d)] \ mtff) (263)
7. Тетрадный формализм
53
и заменяя ковариантные производные от различных базисных векторов соответствующими коэффициентами вращения Риччи (см. уравнение (258)), получаем (аналогично уравнению (261))
R (а) О) (с) (d) I (/) = R(a) (Ь) (с) <</). U) — T|(AZ) (Ш) 1У(п} (a) (f)R(m) (b) (с) (d) + + У(п) (b) (f)R(ci) (т) (с) (rf) + 7(/7) (с) (f)R(a) (b) (т) (rf) +
+ У(п) (d) (f)R(a) О) (с) (т)]. (264)
Наконец, важно отметить, что вычисление коэффициентов вращения Риччи не требует вычисления ковариантных производных (и, следовательно, вычисления символов Кристоффеля). Действительно, введем определение
к(а) (Ь) (с) = Є(Ь) і, і \е\а)Є(с) ~ е\а)Є\с\ (265)
Переписав его в виде
к(а) (Ь) (с) = [Є(Ь) і, і — Є(Ь) /, і] е\а)Є[С) (266)
и заметив, что в (266) можно заменить обычные производные ковариантными (в силу уравнения (115) для симметричных связ-ностей), получаем
к(а) (Ь) (с) = [Є{К) і; j — e{t) /; і] е\а)Є[с) = У (а) (Ь) (с) — У(с) (Ь) (а)- (267)
Уравнения (267) можно разрешить относительно У(а) (Ь) (с)'-
У (a) (L) (с) = 1І2 (a) (b) (с) + ^(с) (a) (b) ~ ^(b) (с) (a,], (268)
откуда и следует, что для вычисления у{а) (b) (с) требуется вычислить только обычные производные. Заметим также, что 1K-символы антисимметричны по первому и третьему индексам:
k(a) (L) (с) = —к(с) (Ь) (а)- (269)
в. Коммутационные соотношения и структурные константы. Скобка Ли [e(fl), е(ь) ] базисных касательных векторов, играющая важную роль в теории, сама является касательным вектором и поэтому может быть разложена по этому же базису e(fl). Таким образом, должно существовать разложение вида
[*(а)> ?(Ь)] —- С\а) (Ь)?(с)- (270)
Коэффициенты этого разложения 6? (b) называются структур-ными константами; нетрудно видеть, что в общем случае имеются 24 константы и что они антисимметричны по индексам (а) и (Ь).
Структурные константы можно выразить через коэффициенты вращения Риччи. Чтобы показать это, рассмотрим действие скобки Ли на скалярное поле /:
[Є(а>, e{b)]f Є\а) [efnf, Д і — в\Ь) |>'(а)/, Д =
= [*\а)Є{Ь): і - Є\ь)Є(а); і] f, / = [ — У(Ь) (а) + У(а) (b)] /, / =
= [-УіЬ){с\а)+Ч{а){с\ьМс)і9І. (271)
54
Глава 1. Математический аппарат
Сравнение этого соотношения с уравнением (270) показывает, что
С[а] (b) = Y(I) (а) — У(а) (Ь)- (272)
Если в уравнение (270) подставить вместо структурных констант их выражения через коэффициенты вращения Риччи, то получим коммутационные соотношения, число которых равно 24.
г. Тождества Риччи и тождества Бианки. Проектируя тождество Риччи (уравнение (231))
Є(а) і; kl — ?(а) і; Ik = Rmikl^a) (273)
на тетрадный базис, получаем
D г* т і k I
А(а) (Ь) (с) (d) — КтікіЄ{а)в(Ь)Є(с)Є{а) =
= і - [Y<«> if) welMe)l. і-V [Y«.) m (g/^ig)l. k ) eU/?e'w (274)
Раскрывая квадратные скобки в правой части и снова заменяя ковариантные производные базисных векторов соответствующими коэффициентами вращения Риччи, получаем
R(a) (b) (с) (d) = — У (а) (Ь) (с), (d) + У(а\ (b) (d), (с) +
+ У(Ь) (а) (/) [y(c)U\d) — y(d)U\c)] + У(П (а) (с)У(Ь)(П (d) ~~
— У(ї) (а) (а)У(Ь)іП(с)- (275)
Вследствие антисимметричности коэффициентов вращения Риччи по первым двум индексам и явной антисимметричности выражения тетрадных компонент тензора Римана через эти коэффициенты существует всего 36 уравнений (275).
Наконец, тождество Бианки (234), выраженное через внутренние производные и тетрадные компоненты, имеет следующий вид:
R (a) (b) [(с) (d) I </)] = Ve Jj \R(a) (b) (с) (d), </) — [(с) (d) </)]
— Т1(") (Ш) [У(п) (a) (f)R(m) (Ь) (с) (d) + У(п) (b) (f)R(a) (т) (с) (d) +
+ У(п) (с) (f)R(a) (b) (т) (d) + У(п) yd) (f)R(a) (b) (с) (т)]} - (276)
Как отмечалось в § 6, д, имеется всего 20 линейно независимых тождеств.
Основными уравнениями в тетрадном формализме являются коммутационные соотношения (270) (24 соотношения), 36 тождеств Риччи (275) и 20 линейно независимых тождеств Бианки. Неясно, сколько из них независимы, как их следует упорядочить или применять, наконец, для чего они полезны. Все эти вопросы будут обсуждаться ниже.
д. Обобщенный тетрадный формализм. До сих пор мы предполагали (и явным образом использовали), что величины v){a) ibh определенные уравнением (242), составляют постоянную матрицу.
8. Формализм Ньюмена—Пенроуза
55
Если бы величины T](Q) (Ъ) являлись функциями пространственно-временных координат, мы не смогли бы доказать антисимметричность коэффициентов вращения Риччи по первым двум индексам, а вместо условия антисимметричности получили бы (ср. с урав-
