Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
50
Глава 1. Математический аппарат
которым удовлетворяют эти величины. Этот формализм называется тетрадным формализмом.
В приложениях выбор тетрадного базиса зависит от тех свойств симметрии, которыми, по предположению, обладает исследуемое пространство-время, и этот выбор является в некоторой степени частью решения задачи. Кроме того, не всегда ясно, какие уравнения являются в данном случае нужными и какие связи могут быть между ними. Поэтому мы опишем здесь лишь основные идеи без каких-либо предварительных предположений и получим различные уравнения, которые затем окажутся нужными для приложений.
а. Тетрадное представление. В каждой точке пространства-времени расположим базис из четырех контравариантных векторов
е\а) (а - 1, 2, 3, 4), (239)
где индекс в скобках нумерует векторы тетрады и называется тетрадным индексом в отличие от тензорных индексов, которые пишутся без скобок. (Как правило, мы будем использовать для тетрадных индексов начальные буквы латинского алфавита (a, b и т. д.), а буквы /, / и т. д. зарезервируем для тензорных индексов.) С контравариантными векторами (239) связаны ковариантные векторы
Є(и)і = gikeU)y (240)
где gik — метрический тензор. Кроме того, определим матрицу [е\Ь)] как обратную матрице [е\а)] (верхний индекс нумерует столбцы, а нижний — строки), так что
= С е[а)еР = &'„ (241)
где предполагается (здесь и всюду далее), что два типа индексов подчиняются правилу суммирования независимо. Предположим также (как часть определения), что
Є\а)Є(Ь)і = ч(а)(Ь), (242)
где
T](O) (і) — постоянная симметричная матрица. (243)
Чаще всего предполагается, что базисные векторы е\а) составляют ортонормированную тетраду, в этом случае ща) (o) — диагональная матрица с элементами +1, —1, —1, —1. Мы не будем накладывать условие ортонормированности. Следует отметить, что можно развить более общий формализм, чем подробно рассматриваемый здесь. Обобщение состоит в том, что элементы матрицы ii(a) могут быть функциями на многообразии. Мы кратко рассмотрим такое обобщение в пункте д) настоящего параграфа. Пока же будем считать, что ща) (ь) — постоянные величины.
7. Тетрадный формализм
51
Введем в рассмотрение матрицу r)*fl> (Ь\ обратную матрице tЛео) (Ь) 1-
Va)(V)(c)^6fo. (244)
Нетрудно показать, что
(б)^а) = *<*> /. *Г (%> с = *|6\ (245)
и получить очень важное соотношение:
e{a)te)a) =gtj. (246)
Проектируя векторное или тензорное поле на тетраду, получаем тетрадные компоненты вектора
А{а) = Є{а) jA} = e[a\Ah
А(а) = Т)(а) = в(а)л/ _ ^(а) (24?)
л' = *{в)л<в> = *(в)'л(в>
и тензора
Т{а) (b) = ?<а)Є(о)7\/ = Є(а)7\ (&),
І і і — Ci Cj I (a) (b) — Є і * (а) /•
Соотношения (241), (242), (244) и (245) показывают, что: а) от тензорных индексов легко перейти к тетрадным индексам и обратно; б) тетрадные индексы поднимаются и опускаются матрицами т](а) (6> и г\(а) (Ь) независимо от операций с тензорными индексами с помощью метрического тензора; в) появление величин с индексами двух типов не вносит никакой неопределенности; г) результат свертки тензора не зависит от того, по каким индексам произведена свертка — тетрадным или тензорным.
б. Производные по направлению и коэффициенты вращения Риччи. Контравариантные векторы е(0), рассматриваемые как касательные векторы, позволяют определить производные по направлению (ср. с формулой (8)):
и мы введем обозначение
Ф. «о = 4) ¦$- = ^.(, (250)
где ф — произвольное скалярное поле. В более общем случае имеем
A (a), (b) = е\Ь) -^f А{а) = е\ь) —- е{а)А; =
= e\b)Vdi [e{a)Aj] = е[ь) [е[а)Аі, і + Ake{a)k, її (251)
Используя правила, сформулированные в конце предыдущего раздела, и коммутативность операций поднятия и опускания
52
Глава 1. Математический аппарат
(тензорных) индексов и ковариантного дифференцирования, получаем
А{а), (ь) = e[a)Aj.і e\b) -j- e{a) k. ie\b)ek{c)A{c). (252)
Введя определение
У{с) (а) О) = Є{с)Є(а) k; &(Ь)> (253)
можно переписать соотношение (252) в виде
А(а), (Ь) = e[a)Aj. іЄ\Ь) + У(с) (а) (Ь)А(с). (254)
Величины 7(c) (а) (b) называются коэрфициентами вращения Риччи. Эквивалентное определение этих коэффициентов дается соотношением
e{a)kM=^]y{c){a){b)e^\ (255)
Коэффициенты вращения Риччи антисимметричны по первым двум индексам:
У(с) (a) {I) = —У(а) (с) (6). (256)
Этот факт становится очевидным, если расписать тождество
О- T)(A) і = [е{а)ке\ь)\.і- (257)
(Заметим, что мы не могли бы получить этот результат, если бы величины Ц(а)(ь) не были постоянными). Свойство антисимметричности позволяет переписать уравнение (255) в другом виде:
*<*>*; і = -У(а)\. (258)
Возвращаясь к уравнению (254), запишем его в альтернативной форме:
e{a)Ai: je{b) = Л(а), {Ь) - ЦІП) {т)У(п) (а) (Ь)А{ту (259)
Величина в правой части этого уравнения называется внутренней производной А(а) по направлению е(^) и обозначается A^0) \(Ь)-Имеем
А{а), {b) = е\а)Ац je[b)9 или A1, j- --= е^А^), {t)ef\ (260)