Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = с2 dt2 — d*2 — dy2 — d^2, (230)
где с — скорость света (выберем систему единиц, в которой с = = !)¦
Метрика пространства-времени с лоренцевой сигнатурой не является положительно определенной в том смысле, что g(X, X) может быть положительным, нулевым или отрицательным. Будем называть вектор времениподобным, если g (X, X) > 0, изотропным, если g (X, X) = 0, и пространственноподобным, если g (X. X) < 0. Частицы вещества с отличной от нуля массой покоя могут описывать только времениподобные траектории (т. е. кривые, касательный вектор к которым всегда времениподобен), тогда как
48
Глава 1. Математический аппарат
безмассовые частицы (фотоны, гравитоны, нейтрино *) имеют изотропные траектории (т. е. кривые, касательные векторы к которым всегда изотропны).
Свободно падающие массивные частицы движутся по времени-подобным геодезическим, а безмассовые частицы — по изотропным геодезическим. Очевидно, что в качестве параметра на изотропных геодезических нельзя выбрать длину дуги, хотя, как следует из уравнения (126), аффинный параметр существует и в этом случае. Уравнения геодезических (как времениподобных, так и изотропных), записанные через 4-скорости и, всегда можно привести к виду (211) и (212). Вдоль времениподобных геодезических (u •u) = 1, а вдоль изотропных геодезических (u и) = 0.
Заметим, что мы определили тензор Римана так, что тождество Риччи имеет вид
R1jkiZi = Zj, ki — Zj\ iky (231)
тензор Риччи определяется следующей сверткой:
g/lRijhi = Rih, (232)
а тензор Вейля связан теперь с тензором Римана и тензором Риччи соотношением
С і jki -- Rijki — 1/2(gikRji \-gjiRik — gjhRu ~ giiRjk) +
+ ^(gtkgji- gjkgn)R. (233)
Тензор Римана имеет 20 независимых компонент, а тензор Вейля и тензор Риччи — по 10 компонент каждый. Тождества Бианки
RiJ [kl; т] = V3 (Rijki', т + Rijkl; т + Rijmk; /) = 0 (234) **
в четырехмерном случае приводят к 24 различным уравнениям, соответствующим шести различным парам индексов (і, /, / Ф /), причем каждой паре соответствуют четыре уравнения с k Ф I Ф т. Однако только 20 из этих 24 уравнений линейно-независимы — легко проверить, что следующие четыре линейные комбинации тождественно равны нулю вследствие свойств симметрии тензора Римана (включая симметрии циклического соотношения):
R\2 [34; 1] ^23 [41: 2] ^34 [12; 3] ^41 [23; 4]
* В настоящее время есть некоторые экспериментальные свидетельства в пользу существования массы покоя нейтрино. — Прим. ред.
** Если группа индексов заключена в квадратные скобки, то это означает, что соответствующая величина «антисимметризована» по этим индексам посредством действия оператора антисимметризации А (см. уравнение (53)).
¦ А13 [41; 2] "Ь Ru [12; 3] = 0>
¦ ^?24 [12; 3J h -^21 [23; 4] = 0,
¦ ^31 [23; 4] + ^32 [34; 1] = 0,
(235)
R
42 [34; 1]
3 [41; 2]
0.
7. Тетрадный формализм
49
Геометрия пространства-времени описывается уравнениями Эйнштейна *
Gtj = Rtj- lUgijR = - (8яС/с4) Тф (236)
где T1J — тензор энергии-импульса вещества и полей (кроме гравитационного), G — гравитационная постоянная (которую, как и скорость света с, мы положим равной 1, выбрав соответствующим образом систему единиц). Уравнения Эйнштейна можно записать и в другом виде:
Ru = - (8лС/с*) (T1J - V2gijT) (T = g^Tij). (236')
В пустоте (т. е. в области пространства-времени, где Ttj = 0) уравнения Эйнштейна сводятся к
Gu = 0, (237а)
или, что эквивалентно,
Ru = 0, (2376)
причем тензор Римана совпадает с тензором Вейля.
Уравнения Эйнштейна обычно рассматриваются как уравнения для определения метрики (точнее, как уравнения для определения десяти метрических коэффициентов gtj). Ясно, что вследствие тождества (223)
G-; с = 0 (238)
любое решение уравнений Эйнштейна должно содержать четыре произвольные функции. Свобода в выборе этих функций есть калибровочная свобода, обусловленная «общей ковариантностью» теории. И эта свобода в выборе калибровки позволяет наложить на метрику четыре координатных условия.
Наконец, следует отметить, что в пустоте число тождеств Бианки уменьшается с 20 до 16, потому что четыре из них, включенные в уравнения (238), тождественно удовлетворяются в силу уравнений поля (237).
7. Тетрадный формализм
Стандартный способ решения задач общей теории относительности заключается в использовании локального координатного базиса, причем координаты выбираются так, чтобы максимально упростить решение. В последние годы, однако, появился другой способ исследования, имеющий ряд преимуществ. Он состоит в том, что выбирается подходящий тетрадный базис из четырех линейно независимых векторных полей, все нужные величины проектируются на выбранный базис и исследуются уравнения,
* Знак в правой части (236) отличается от принятого в советской научной литературе (см., Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля. — M.: Наука, 1973, с. 353). Это, однако, компенсируется (также нетрадиционным) выбором знака в определении Tij электромагнитного поля (334); другие виды материи в книге не рассматриваются. — Прим. ред.
