Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Если параметр вдоль геодезической не является аффинным, то уравнение геодезической имеет вид (ср. с уравнением (125))
u{kuk ^фи1', (212)
где ф — некоторая скалярная функция.
Нетрудно убедиться (свертывая с Uj) в том, что уравнение (211) имеет интеграл (u •u) = const в согласии с тем фактом, что и переносится параллельно вдоль геодезической.
б. Некоторые свойства тензора Римана и тензора Риччи в случае римановой связности. Тензоры Римана и Риччи, построенные на основе римановой связности, имеют дополнительные свойства симметрии. Например, если в уравнение (170) вместо Stj подставить g^-, то получим
gmRm/ki + gmiRmiki = 09 (213)
Rijki +Rjiki = 0. (214)
Следовательно, полностью ковариантный тензор Римана антисимметричен также и по первой паре индексов. Другую симметрию можно получить посредством следующих преобразований, используя циклическое тождество (см. уравнение (178))
Rjhmn + Rjmnh + Rjnkm =¦ 0, (215)
а также известную антисимметрию по первой и второй парам индексов:
Rjkmn ~ {Rjmnh ~\~ Rjnkm) = Rmjnk Jr Rnjkm
— (Rmnkj + Rmkjn) — (Rnkmj + Rnmjk) = ~ 2>Rmnjh ~\~ (Rhmjn ~\~ Rhnmj) ~ ^Rmnjk Rhjnm ~ %Rmnjh Rjkmn-
(216)
Значит,
Rjkmn ~ Rmnjki (217)
т. е. тензор Римана не изменяется при одновременной перестановке первой и второй пар индексов. Можно показать, что свойства симметрии тензора Римана уменьшают число его независимых компонент до п2 (п2 — 1)/12 (т. е. тензор Римана четырехмерного многообразия имеет 20 независимых компонент).
Симметрия тензора Риччи является следствием свойств симметрии тензора Римана:
Ru = §klRikji = glkRijkt = Rji- (218)
46
Глава 1. Математический аппарат
Симметричность тензора Риччи становится очевидной в локальном координатном базисе. Но сначала заметим, что
Г}* = 1Ug11 (gif, k + gik, j - gfk. і) = V2^W * = (In I g Г2), k9 (219)
где |g"I — абсолютная величина детерминанта матрицы igtj]. Уравнение (172) можно переписать теперь в виде
о _г/ d2ln |g[1/2 д In Ig I1/2 rk _г/ г^ (9Ш
Rlm ~ Г/Ш' 1 " ftc'efc* + 1 /т 'W (220)
е. Тензор Эйнштейна. Тензор Эйнштейна Gtj строится из тензора Риччи и метрического тензора следующим образом:
G1J = RiJ-V^uR9 (221)
где
R = Ri = g"'Rii (222)
есть свернутый тензор Риччи (скалярная кривизна).
Важнейшим свойством тензора Эйнштейна является его консервативность, т. е. равенство нулю ковариантной дивергенции:
G), t = 0. (223)
Это тождество следует из тождества Бианки (184). Действительно, свертывая соотношение
R'lkl: т - giPR/plm; k + R*jmk; I = 0 (224)
по индексам і и k, получаем
RfIl т - gkpRfPlm; k - Rjm; I = 0. (225)
Поднимая теперь индекс / и свертывая с ту имеем
R1IM+ Ri-, k -R,i = 0, (226)
(Rl-WtR)M = O9 (227)
что и требовалось доказать.
г. Тензор Вейля. Мы видели, что тензор Римана Rijki антисимметричен по обеим парам индексов (ij) и (kl) и, кроме того, не меняется при одновременной перестановке двух пар индексов (ij) и (kl). Вследствие этих симметрии единственную нетривиальную свертку можно получить, только если поднять один из индексов, а затем свернуть его с любым из оставшихся ковариантных индексов. При этом с точностью до знака мы получим тензор Риччи. Удобно поэтому разложить тензор Римана на «бесследовую» часть и часть, связанную с тензором Риччи. Такое разложение достигается с помощью тензора Вейля:
Cijki = Rijki - (п - 2)"1 (gikRji + gjiRik - gjhRu ~~ gtiRjh) +
+ (п - I)"1 (п - 2)-1 (gihgji - gi:gjh) R- (228)
6. Метрика и метрическая связность
47
Очевидно, что этот тензор имеет те же свойства симметрии, что и тензор Римана, но
f"C№ = 0, (229а)
тогда как
gi'Rm, = Rik- (2296)
Другое отличие состоит в том, что тензор Римана может быть введен, если многообразие наделено только связностью, а тензор Вейля не может быть построен без метрики.
Важная роль, которую играет тензор Вейля в дифференциальной геометрии (и общей теории относительности), связана с конформной инвариантностью этого тензора, т. е. с инвариантностью относительно преобразования g -> Q2g, где Q — некоторая скалярная функция, но мы не будем касаться этих проблем в нашей книге.
д. Пространство-время как четырехмерное многообразие; уравнения Эйнштейна. До сих пор в своем кратком введении в дифференциальную геометрию мы не делали никаких ограничений ни на размерность многообразия, ни на сигнатуру метрического тензора, (возможно) заданного на многообразии. Однако пространство-время в общей теории относительности рассматривается как четырехмерное дифференцируемое многообразие, наделенное метрикой с лоренцевой сигнатурой, и все наше последующее обсуждение в настоящей главе (и всюду в этой книге) будет ограничено именно этим случаем. В данном разделе мы заново выпишем основные уравнения теории применительно к пространству-времени, примем соглашения о знаках и введем обозначения, которыми в дальнейшем будем пользоваться.
Условимся работать с отрицательной сигнатурой, т. е. после приведения метрического тензора к диагональному виду (в любой точке пространства-времени) разность между числом положительных и числом отрицательных метрических коэффициентов равна —2; в частности, в плоском пространстве-времени метрика Минковского имеет вид
