Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
g-1 =giJet ® е7, (189)
Метрический тензор используется для определения длины L вдоль кривой A, на M от точки К (а) до точки A, (Ь):
L = \\gudxift(t)) dxi(T] l'/2^- (190)
а
В согласии с этим определением принято писать
ds2 = gisdx{dxl, ' (191)
a ds2 обычно рассматривают как квадрат интервала ds между близлежащими точками многообразия.
Пусть T — тензорное поле типа (г, s). С помощью метрического тензора можно свернуть тензоры g ® T и g-1 ® T относительно одного из индексов метрического тензора (или обратного тензора), в результате чего получаются соответственно тензоры (г— 1, s-j-1) И (r -{-Us — 1). Компоненты свернутых тензоров равны
^/rft-''-V.., = r"-/-V..„ (192а)
ЯиТа!>-рС1,.,...д- Г'''""",,;...'...,,. (1926)
Ясно, что процесс этот можно повторять. Мы рассматриваем тензоры, полученные поднятием и опусканием индексов, как единую геометрическую величину, потому что, сначала подняв индекс, а затем опустив его, мы восстановим первоначальный тензор.
С метрическим тензором связана важная величина — его сигнатура. Сигнатура метрического тензора определяется как разность чисел положительных и отрицательных коэффициентов тензора gij (в некоторой точке) после приведения тензора к диагональному виду. Можно показать, что сигнатура, таким образом определенная, одна и та же во всех точках (связного) многообра-
6. Метрика и метрическая связность
43
зия. Метрика называется евклидовой, если сигнатура численно равна размерности многообразия. Метрика называется лорен-цевой или метрикой Минковского, если сигнатура равна ±(п — 2), где п — размерность многообразия (знак плюс или минус — вопрос соглашения).
а. Метрическая связность. До сих пор метрика на многообразия вводилась независимо от того, наделено ли многообразие связностью. Покажем теперь, что если на многообразии задан метрический тензор, то на нем можно ввести симметричную связность без кручения, которая однозначно определяется требованием
Vg = 0. (193)
В этом случае для любого тензорного поля T
V(g®T) = g® VT. (194)
Основное преимущество метрической связности состоит в том, что операция поднятия и опускания индексов коммутирует с операцией ковариантного дифференцирования.
Вывод формулы для симметричной связности начнем с вычисления ковариантной производной Vxg, причем g запишем в виде (186). Требование (193) означает, что
Vxgifi1 ® е' = Xgifit ® е' + gu [(VxeO ® е' + е<® (Vxe/)] = 0. (195)
Используя формулу (111), получаем
[Х#/ - giM (X) - gaJj (X)J е< ® е' = 0, (19Є)
откуда следует равенство
(dgij - giM - giiJ,) (X) = 0. (197)
Полагая теперь X = dk в локальном координатном базисе, получаем
gii.k = giiTlik + guTlik, (198)
причем Г-символы симметричны по своим «ковариантным» индексам, так как кручение по предположению отсутствует. Уравнения, (198) нетрудно разрешить относительно коэффициентов связности. В результате получаем
или
<200)
Таким образом, задание метрического тензора однозначно определяет связность. Эта связность лежит в основании римановой геометрии.
44
Глава 1. Математический аппарат
Г-символы (200), получаемые из метрического тензора g, называются символами Кристоффеля, а сама связность называется метрической связностью или связностью Кристоффеля.
Получим два следствия условия (193), т. е. условия того, что связность является метрической.
Во-первых, скалярное произведение (X •Y) двух контравариант-ных векторных полей X и \у определяемое формулой
g(X, Y) = (X-Y) = ^T/, (201)
остается неизменным при параллельном переносе векторов X и Y вдоль кривой A, на М. Действительно, в силу определений (120) и (121)
D (gijX^Yi) ^ {Dgij) XiYf + gil (YfDXt + X'DYl) = 0, (202)
поскольку Dgtj = 0 по условию Vg = 0 (связность метрическая), a DX1 и DYf равны нулю по условию параллельного переноса вдоль К.
Во-вторых, уравнение геодезической (127), выведенное в § 4 из требования, чтобы касательный вектор к кривой К при параллельном переносе вдоль этой кривой оставался пропорциональным самому себе, теперь может получаться как уравнение Эйлера—Лагранжа для задачи на экстремум функционала. Действительно, рассмотрим интеграл (ср. с уравнением (190))
Z=JLd,, Z.--giJ d*'^» d*y» , (203)
а
где кривая к параметризована длиной дуги s вдоль К. Уравнение Эйлера—Лагранжа для задачи на экстремум функционала / имеет вид
ш)-+ = °' (204,
Вычисляя
^ дх} J дх} ds
fj7 = 2ft,*', JL = SKjW^ (205)
получаем уравнение
gij*1 + (gij, к - 1UgIh, j) Xі*k - 0, (20S) которое можем переписать в виде
gij*1 + V2 (gij, k + gkj, і - gih, j) Xіxk = 0. (207)
Свертывая последнее уравнение с gl1, приходим к уравнению геодезической:
х1 + Т1(кх'хк = 0. (208)
Полезно* записать уравнение геодезической в другом виде — через «скорости»:
W = xi = dxh'ds. (209)
6. Метрика и метрическая связность
45
Тогда
je7 = u[ku\ (210)
и уравнение геодезической принимает особенно простой вид:
(и[ к + Т[,ги1) uk = и[ kuk = 0. (211)
