Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
[/X, Y] = /[Xf Y]-(YZ)X.)
Соотношения (130) и (131) показывают, что отображение
Т: T1O X 71Wr1O (132)
является полилинейным. Следовательно, T есть тензорное поле типа (1, 2).
Пусть (е;-) и (е1) — дуальные базисы для Тр и Тр. Тогда, как было показано выше (уравнение (100)),
(VxY)7' = XY7 + Y^ (X) = Xe7' (Y) + е' (Y) J1 (X), (133)
поэтому
VxY -VyX = [Xe7' (Y) + ю{ (X) е' (Y) - Ye7' (X) - ©{ (Y) е' (X)] е,.
(134)
Таким образом,
H (X, Y) - (et, VxY - VyX - [X, Y]) --- X (e', Y)-Y (e', X) -
- (e'', [X, Y]> + ©{(X) е' (Y) - 4 (Y) е' (X), (135)
откуда, используя тождество (86), получаем
V2T' (X, Y) = (de' + (o{ Д е') (X, Y). (136)
Поскольку это уравнение справедливо для любых векторных полей XhY,
V2T' - de' + й){ Де' = й'- (137)
5. Формы кривизны и уравнения структуры Картана
37
Это уравнение называется первым картановым уравнением струк* туры, а величины — формами Картана. В важном специальном случае, когда кручение отсутствует, уравнение (137) сводится к уравнению
de7'+ о)( Д е' = 0. (1377)
В локальном координатном базисе de/ = 0 (поскольку е/ = dx')> и для кручения получаем уравнение
T = 2Г{* Же* Л - (Г{.* - Г?,) dxk Л dx'. (138)
Исследуем теперь кривизну. По определению кривизны
R (X, Y) Z = VxVyZ - VyVxZ - V[X, y]Z. (139)
Выражение в правой части (139) явным образом линейно по X, YhZ. Более того, нетрудно убедиться, что
R(/X, Y)Z = R(X, /Y)Z = /R(X, Y)Z, (140а)
R(X, Y)ZZ = ZR(X> Y)Z (1406)
для произвольной функции /. Следовательно, отображение
R: Т1о X Tl X T1O-^Tl (141)
является полилинейной функцией своих аргументов, a R — тензорное поле типа (1, 3). Это тензорное поле называется тензором Римана.
Используя далее известные соотношения, имеем
VxVyZ = Vx { Ye7 (Z) + ©? (Y) е* (Z) } е,- =
= [Ye' (Z) + 0)1 (Y) е* (Z)] Vxe/ + [XYe7' (Z) + X ( ©{ (Y) е' (Z)}] е7 = = [Ye' (Z) + o)i (Y) ek (Z)] а>{ (X) є, + [XYe7' (Z) + е' (Z) X©7, (Y) + + ©{ (Y) X е' (Z)] е,- = [XYe' (Z) + ©{' (Y) Xe' (Z) + е' (Z) Х©{ (Y) +
+ ©{ (X) Ye7' (Z) + ©{ (X) ©1 (Y) е* (Z)] е,, (142)
откуда следует соотношение
VxVyZ - VyVxZ = {[Х©{ (Y) - Y©{ (X) + ©І (X) ©? (Y) -
- ©І (Y) ©? (X)] е' (Z) + [X, Y] е7' (Z)} е7. (143)
Поскольку
V1x, y]Z= {•[X, Y] е7' (Z) + ©H[X, Y]) е'(Z))ey-, (144) приходим к следующему соотношению: R(X, Y) Z ={ X <©{, Y)-Y <©7, X) - <©{, [X, Y]) +
+ ©? (X) ©? (Y) - ©Ї (Y) ©? (X) } е' (Z) е;, (145)
которое можно переписать, используя тождество (86), следующим образом:
V2R(X, Y)Z = (d©{' + ©? Д©?)(Х, Y)e'(Z)e,. (146)
38
Глава 1. Математический аппарат
Далее для любой 1-формы ю выполняется равенство R(o), Z, X, Y) = R\km [е, ® е' ® (е* Л ет)] (©, Z, X, Y) =
= (Я'/*тЄ* Л ет)(Х, Y) е'(ZK(G)). (147) Сравнивая теперь уравнения (146) и (147), получаем соотношение
Vafl'/ame* Л ew - da>{ + ©і Л ©/• (148)
Определив далее 2-форму
Q{ = da>{-f4A®?» (149)
получаем уравнение
V2/? Л ет - 0{, (150)
которое называется вторым картановым уравнением структуры. В локальном координатном базисе
(o{ = r{mckm, (151)
поэтому
Ы = rL. n ск" Л dxw = V2 (Г{т, я - Г{„, w) dx" Л dxw; (152)
4 Л®? = rLr?mdxn Л dxm = V2 (Г{„Г?Л - rLrf,)d^ Д dxm, (153)
и, следовательно, второе картаново уравнение структуры эквивалентно обычному определению тензора Римана:
R1 lnm = Г/т> п — Г{л, т -\- Т{пТ^т — rimrfn. (154)
Выше мы исследовали тензор Римана, следуя Картану. Интересно сравнить картанов подход с более привычным, основанным на прямом вычислении правой части уравнения (139) в локальном координатном базисе. Вычислим прежде всего первое слагаемое, используя уравнение (103):
VxVyZ = Vx (YkZ{ *еу) - V*VX (Z[ *Є/) + Z[ Ae/VxK* =
= YkXlZ[ kle} + tXlZ[ keh (155)
Следовательно,
VxVyZ - VyVxZ = YkXl (z[ H - Z[ lk) e,- + [Ff /X' - Xf ,K'] Z{ Ae7 =
= YkXl (Z{ kl - Zl lk) e/ 4- [X, Y]* Zl *e, + X'K" (Г*, - Г?„) Z{ *e,.
(156)
Поскольку последнее слагаемое в (139) равно
V[X, y]Z-[X, Y]kZlkef, (157)
получаем
R (X, Y) Z = (Zl kl - Zj lk + 77*Z{= R1UkZ1X1Y**,, (158) откуда следует соотношение
¦ Z[kl-Z[lk =-R1U1Z'+ TntlZ{ п. (159)
S. Формы кривизны и уравнения структуры Картана
называемое тождеством Риччи. В отсутствие кручения тождество Риччи обычно является исходным пунктом для введения тензора Римана.
Интересно сопоставить уравнение (159) с уравнением
f;kl-f;lk = Tnklf,ni (160)
выведенным в § 4 (уравнение (117)).
Полезный результат следует из уравнения (129) (ср. с соотношением (114)):
R(X, Y)f^Vx(Y<'fti)-VYXif,f-[X, YYf1J =
= (X1Yi, - YlX[ /) /, / + Y1X1 (f,і; t - f, t;/) - [X, Y]7 f, J =
= XlYn (Ґп1 - It) f, і + X1Y1 (-11?.+ Г?,) A , = 0. (161)
До . сих пор мы рассматривали действие отображения R (X, Y) только на контравариантные векторные поля и на скалярные поля. Рассмотрим теперь его действие на произвольные тензорные поля.
Используя правило Лейбница при ковариантном дифференцировании тензорных произведений, находим
