Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
S1 строго убывающий, его ряд факторов получается тогда из ряда факторов для S1 путем удаления всех членов последнего, изоморфных {е}. И то же для S2 и S'. Так как ряды факторов композиционных рядов S' и S' различаются (с точностью до изоморфизма) лишь порядком следования членов, то тогда то же верно для рядов факторов композиционных рядов S1 и S2, и теорема доказана.
Следствие. Пусть G — группа с операторами, обладающая рядом Жордана — Гёлъдера. Тогда любой ее строго убывающий композиционный ряд S допускает уплотнение, являющееся рядом Жордана — Гёлъдера.
Действительно, пусть S0 — ряд Жордана—Гёльдера группы {?; согласно теореме 7, S и S0 обладают эквивалентными друг ДРУГУ уплотнениями S' и S'; рассуждение, проведенное при доказательстве теоремы 8, показывает, что выбрасывание из S' повторяющихся членов дает ряд S", эквивалентный S0, и тем самым — ряд Жордана — Гёльдера, поскольку все его факторы простые (предложение 12); при этом, поскольку ряд S строго убывающий, S" есть его уплотнение, и следствие доказано.
Замечание. He всякая группа с операторами G обладает рядом Жордана — Гёльдера. Примером может служить аддитивная группа Z рациональных целых чисел: (2^)^ Оестьбесконечныйстрого убывающий ряд (нормальных) подгрупп группы г;'каково бы ни было р, р первых членов этого ряда вместе с группой {0} образуют строго убывающий композиционный ряд; если бы Z обладала рядом Жордана— ГГльдера, он содержал бы, по следствию теоремы 8, не менее р+1 членов, что в силу произвольности р невозможно.
110
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, I В
Напротив, каждая конечная группа с операторами G обладает рядом Жордана — Гельдера: достаточно применить индукцию по порядку группы G и заметить, что среди устойчивых нормальных подгрупп этой группы, отличных от нее, имеется максимальная H1, факторгруппа GIH1 по которой тем самым простая.
Схолия. Если группа с операторами G обладает рядом Жордана — Гёльдера, то число его факторов называют длиною G; таким образом, простая группа есть группа длины 1. Если G и G'—две изоморфные группы с операторами и G обладает рядом Жордана — Гёльдера, то это же верно для G' и ряды Жордана— Гёльдера для G и G1 эквивалентны', в частности, длиньї GnG' равны. Следует заметить, что длина ряда факторов ряда Жордана— Гёльдера группы G вообще не характеризует эту группу с точностью до изоморфизма (см. упражнение 1).
Замечание. Всё сказанное о произведениях групп и прямых произведениях подгрупп (п°п° 5 и 6) непосредственно распространяется на группы с операторами, если заменить всюду «группу» на «группу с операторами», а «подгруппу» — на «устойчивую подгруппу».
Упражнения. 1) Определить все групповые структуры
в множествах из п элементов, где 2 < и 6 (см. § 2, упражнение 5). Определить подгруппы и факторгруппы этих групп, а также их ряды Жордана — Гёльдера; показать, в частности, что существуют две неизоморфные группы четвертого порядка, факторы рядов Жордана— Гёльдера которых изоморфны.
*2) а) Ассоциативный закон (х,у)—>ху на множестве ? является групповым законом, если существует е € E такое, что ех = х для всех х € Е, и для всякого х ^ E существует х' ? E такое, что х'х=е. [Рассмотрев композицию х'хх', показать, что хх'=е; вывести отсюда, что е — нейтральный элемент.]
б) Показать справедливость того же результата, если все левые переносы Yx и хотя бы один правый перенос 6а являются отображениями E на Е. [Воспользоваться предложением 4 § 2 для сведения к а) или к упражнениям 11 и 13 § 2.]
3) Каждое непустое конечное устойчивое подмножество группы 6’ является ее подгруппой. [Cm. § 2, упражнение 8.]
4) Пусть А и В — подгруппы группы G.
а) Показать, что наименьшая подгруппа, содержащая AnB (т. е. подгруппа, порожденная множеством A (J В), совпадает с множеством КОМПОЗИЦий ВСеВОЗМОЖНЫХ Последовательностей -
состоящих из (какого угодно) нечетного числа элементов и таких-ЧТО Xj € А для нечетного І и Xj 6 В для четного І.
ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ
111
б) Для того чтобы AB было подгруппой группы G (в таком случае это будет подгруппа, порожденная множеством А LI В), необходимо и достаточно, чтобы А и В были перестановочны, т. е. AB=BA.
в) Если А и В перестановочны, то, какова бы ни была подгруппа С группы G, содержащая А, А перестановочна с, В С\ п А (В Q С)= = C Г! (АВ).
5) Всякая подгруппа группы G, имеющая индекс 2, нормальна.
6) Пусть (Ga)-семейство нормальных подгрупп группы GTaKoe, что Q Ga={e}. Показать, что G изоморфна некоторой подгруппе произве-а
дения [] (GlGa) факторгрупп GfGa.
а
7) Если группа G есть прямое произведение своих подгрупп А ж В, то каждая ее подгруппа Я, содержащая А, есть прямое произведение А и Я Г) В.
8) Пусть Я — нормальная подгруппа группы G. Для того чтобы G была прямым произведением этой подгруппы Я и некоторой подгруппы К, необходимо и достаточно, чтобы существовало представление / группы G на Я, при котором / (х)=х для каждого х ? Я.
9) Пусть G — коммутативная группа и Я — ее подгруппа, для которой GIH есть бесконечная моногенная группа. Показать, что G изоморфна произведению HX(GfH). [Рассмотреть подгруппу, порожденную элементом класса по Я, порождающего С/Я.]
