Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 42

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 201 >> Следующая


Определение 12. Композиционным рядом группы с операторами G будет называться конечный ряд (Gi)о^г^п Se устойчивых подгрупп, имеющий своим первым членом G0 = G, последним членом Gn = {е\ и такой, что Gi+1, где 0 < і < п — 1, — нормальная подгруппа группы Gi. Факторгруппы GiIGi^1 называются факторами композиционного ряда. Композиционный ряд 2' называется уплотнением композиционного ряда 2, если 2 есть подряд ряда 2'.

Композиционные ряды (Gi)о^г^п и (//j)o^j;gm групп с операторами GuH (имеющих гомологичные структуры) называются эквивалентными, если т=п и существует взаимно однозначное отображение ср интервала [0, п- 1] CZ N на себя такое, что GiIGi^1 для каждого І изоморфно //ф(г)/Яф(і)+1.

Заметим, что подряд композиционного ряда (Gi), вообще говоря, не есть композиционный ряд, ибо Gj при />г + 1 вообще не есть нормальная подгруппа группы Gi.

Теорема 7 (Шрейер). Любые два композиционных ряда 2,, 2а группы с операторами G обладают эквивалентными уплотнениями

s;, 2;.
14

ГРУППЫ и'ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ

107

Пусть S1=(Gi)0ss^n и 2г=(Я;.)о^т — Два заданных композиционных ряда, состоящие соответственно из п-\-1 и TTijT 1 членов; мы покажем, что композиционный ряд 2Ї можно образовать путем вставки между каждыми двумя подгруппами Gi и Gi+J, где 0 < г < и — 1, по иг — 1 подгрупп Gj, (1 < /' < т — 1) и композиционный ряд 2' —путем вставки между каждыми двумя подгруппами Hj и Яу+1, где 0 < ; < иг — 1, по и—1 подгрупп Яд (1 < г< п — 1); ¦это даст два ряда из тп-}-1 подгрупп группы G; надлежащим образом выбирая вставляемые подгруппы, мы получим эквивалентные композиционные ряды.

Заметим, что GiQHj есть подгруппа и группы Gi, и группы Hj, поэтому (теорема 6) Gi+1 (GiQHj) есть подгруппа группы Gi, содержащая Gui, и Я;+1 (GiHHj) —подгруппа группы Hj, содержащая если положить

G1lj = Gui(GiQHj) (1</</и-1)

и

Hji = Hj^1(GiQHj) (1<*<п-1),

TO Gi,j+t будет подгруппой группы G'ij, Я;')і+1 —подгруппой группы H\; при этом, в тех же обозначениях, Gli о = Gi, G1im = Gi+1, Hj 0 =Hjt Hjn = Hjtl, поэтому доказываемая теорема будет непосредственно вытекать из следующей леммы:

JIemma (Цасенхауз). Пусть Н, К — устойчивые подгруппы группы с операторами G и Я', К' — их устойчивые нормальные подгруппы. Тогда H'(HQK') есть нормальная подгруппа группы H'(HQK), К'(KQH') — нормальная подгруппа группы К'(КQH), причем факторгруппы

(H'(HQK))I(H' (HQK'))

(K'(KQH))/(K'(KQH'))

изоморфны.

Согласно теореме 6, примененной к группе Я, H' QK = H' Q Г) (Яр| К) есть нормальная подгруппа группы HQK', точно так же K'QH есть нормальная подгруппа группы KQH; поэтому (теорема 6) (Н’ р| К) (K' ПЯ) есть нормальная подгруппа группы HQK. Согласно следствию теоремы 6, примененному к группе Я,

H' (H'QK) (K1QH) = H'(HQK')
108

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § ®

есть нормальная подгруппа группы H'(Hf] К), а факторгруппа (H' (Hf)K))/(H' (IIf)K')) изоморфна (H f)K)/((H’f)K) (K'f)H)). В эту последнюю факторгруппу Я и Я', с одной стороны, К и К', с другой, входят симметрично; их перестановка приводит к сформулированному результату, и лемма доказана.

Определение 13. Рядом Жордана — Гёльдера группы с операторами G будет называться ее строго убывающий композиционный ряд 2, не обладающий никаким отличным от него строго убывающим уплотнением.

Определение 14. Группа с операторами G называется простой, если она не сводится к одному своему нейтральному элементу е и не обладает никакой устойчивой нормальной подгруппой, отличной от G и {е}.

Предложение 12. Для того чтобы строго убывающий композиционный ряд группы с операторами G был ее рядом Жордана — Гёльдера, необходимо и достаточно, чтобы все факторы этого ряда были простыми.

Действительно, если строго убывающий композиционный ряд 2 не есть ряд Жордана — Гёльдера, то он обладает отличным от него строго убывающим уплотнением 2'. Значит, существуют два соседних члена Gi, Gitl ряда 2, не являющиеся соседними в 2'; пусть H — первый член, следующий за Gi в 2'; H есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами Gi, содержащая Gitl и отличная от этой последней; поэтому HIGitl есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами GiIGitі, отличная от этой последней и от нейтрального элемента; тем самым GiIGitl — не простая. Обратно, если 2 — строго убывающий композиционный ряд, имеющий не простой фактор GiIGitl, то этот фактор обладает устойчивой нормальной подгруппой, отличной от него самого и нейтрального элемента, и ее прообраз H в Gi будет устойчивой нормальной подгруппой в Gi, отличной от Gi и Gi^1 (теорема 6); тогда достаточно вставить H между Gi и Gitl, чтобы получить строго убывающий композиционный ряд, отличный от ряда 2 и являющийся его уплотнением.
14:

ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ

109

Теорема 8 (Жордан — Гёльдер). Любые два ряда Жордана — Гёлъдера группы с операторами эквивалентны.

Пусть S1 и S2 — два ряда Жордана — Гёльдера группы с операторами G; применение теоремы 7 дает два эквивалентных композиционных ряда Ej и S', являющихся соответственно уплотнениями рядов S1 и S2; но так как эти последние — ряды Жордана— Гёльдера, то S' либо совпадает с S1, либо получается из S1 повторением некоторых членов; поэтому ряд факторов для Sj получается из ряда факторов для S1 путем добавления некоторого числа членов, изоморфных группе {е}; поскольку композиционный ряд
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 201 >> Следующая

Реклама

Магазин гидра онион

магазин гидра онион

1hydra-onion.com

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed