Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 41

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 201 >> Следующая


H= f (е') последнего есть устойчивая нормальная подгруппа
104

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I. § б

группы G; группа с операторами f (G) изоморфна факторгруппе GlH, и представление f есть композиция канонического гомоморфизма G на GIH и инъективного гомоморфизма GIH в G'.

13. Подгруппы факторгруппы группы е операторами

Общие теоремы об изоморфизме (§ 4, теоремы 2 и 3), разумеется, применимы также к группам с операторами (и тем более к группам); они позволяют (используя также доказанную выше теорему 5) охарактеризовать устойчивые подгруппы и факторгруппы любой факторгруппы заданной группы с операторами:

Теорема 6. Пусть G — группа с операторами, H — ее устойчивая нормальная подгруппа и f — канонический гомоморфизм G на G- = GIH.

-1

а) Прообраз K = / (К') устойчивой подгруппы К' группы с операторами G' есть устойчивая подгруппа группы с операторами G, содержащая Н; при этом K' = / (К) и К' изоморфна KIH.



б) Отношение K= / (К') устанавливает взаимно однозначное соответствие между устойчивыми подгруппами группы с операторами G' и устойчивыми подгруппами группы с операторами G, содержащими Н.

в) Если К' — устойчивая нормальная подгруппа группы с опе-

-1

раторами G' ,то K= / (К') есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами G, содержащая Н, и обратно; при этом GIK изоморфно G4K'.

г) Если L — устойчивая подгруппа (соответственно устойчивая нормальная подгруппа) группы с операторами G, то это же верно и для ЬН = НЬ\ П(~]Ь есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами L, и Ll(Hf]L) изоморфно (HL)IH.

Докажем сначала а); если К' — устойчивая подгруппа группы с операторами G', то отношения f (х)? К' ,f (у) g К' влекут / (ху'1) = = / (х) (/ (г/))"1 Є К’ и / (ха) = (/ (х))а Є К’ для каждого заданного.

на G оператора а; значит, K=~f (К') есть устойчивая подгруппа группы с операторами G, очевидно содержащая Н; отображая G на G', / отображает К на К', и в этих условиях группа с операторами К' изоморфна KlH по теореме 5.
IS ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 105

Обратно, если К — устойчивая подгруппа группы с операторами G, содержащая Н, то К насыщена по отношению у?хН,

значит, полагая K'=f(K), имеем K = ~f (К'), чем доказано б).

Докажем теперь г). Если L — устойчивая подгруппа группы с операторами G, то сужение / на L есть представление LbG'; согласно теореме 5, прообраз H[)L нейтрального элемента относительно этого представления есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами L, и /(L) изоморфно LI(HpiL);

насыщение L по отношению у?хН дает множество HL = LH = -і

= f(f(L)), являющееся поэтому устойчивой подгруппой группы с операторами G; а вторая теорема об изоморфизме (§ 4, теорема 3) показывает, что / (L) изоморфно (HL)IH. Легко проверяется, что если подгруппа L нормальная, то это же верно и для HL.

Наконец, в) есть не что иное, как перевод первой теоремы об изоморфизме (§4, теорема 2) на язык групп с операторами.

Для всякой устойчивой подгруппы KzdH группы с операторами G обычно f(K) отождествляют, с факторгруппой KlH; утверждение в) теоремы 6 выражают тогда, говоря, что факторгруппа (GlH)I(KIH) изоморфна GIK (для каждой устойчивой нормальной подгруппы KZDH).

Замечание. То, что прообраз / (К') подгруппы К' группы Gt есть подгруппа группы G, вытекает из следующего более общего предложения:

Для любых множеств A'd G' и Zi' Cl G' имеем

7' (.A'B')=f\A')?(B'), /V-1) = (ZV))'1-

-і -і -і Действительно, очевидно / (А') / (В ) d / (А В ); с другой сто--1 -і -і роиы, если z ? f (А В ), существуют х ? f (А )иі/? / (В ) такие, что

-і -і

/ (z) — f (х) / (у) = / {ху), и значит, z^xyHc / (А') / (В1). Точпо так же,

отношение г?/ (А'~1) равносильно отношению / (z) ?А'~1, а значит



отношению / (г"1) є Л' или Z1BfiA'), и, наконец, — отношению

*с (7V))"1-

Следствие. Пусть f — представление группы с операторами

G в группу с операторами G', L — устойчивая подгруппа группы



Q, К — устойчивая нормальная подгруппа группы L и H = / (е').
106

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § 6

Тогда KH, K(Lf)H) и / (К) — устойчивые нормальные подгруппы соответственно групп с операторами LH, L и / (L), и факторгруппы (LH)I(KH), LI(K(Lf)H)) и / (L)If (К) изоморфны друг другу.

Действительно, пусть g — сужение / на L; g есть гомоморфизм

L на / (L) и g(K) = f(K), g(e') = Lf)H\ поэтому (теорема 6) ь (/ (Щ) = К (Lf) Н) есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами L, и / (L)If (К) изоморфно Ll(K(Lf)H)).

-1

G другой стороны, / (/ (L)) = LH, / (/ (/?)) = /LSr; то же рассуждение применительно к сужению / на LH показывает, что KH нормальна в LH, a (LH)I(KH) изоморфна f (L)If (К).

14. Теорема Жордана — Гёльдера

Одним из важных следствий теоремы 6 является теорема, известная под названием теоремы Жордана — Гёльдера; она устанавливает свойство структуры некоторых групп (особенно конечных), инвариантное относительно изоморфизма, и на этом основании играет фундаментальную роль в алгебре (см. особенно главы II и VII).
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed