Математика в школе - Бунимович Е.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧИ
Решения задач этого номера должны быть отправлены в редакцию не позднее 15 августа 2011 г. О правилах оформления решений см. на с. 24.
Новые задачи
ЗАДАЧА 5192,
Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?
М. Хачатурян, учащаяся IX кл.
(Москва)
ЗАДАЧА 5193,
Фигура «вертушка», показанная на рисунке, представляет собой объединение единичного квадрата и четырех его половинок. Разрежьте «вертушку» на пять частей, из которых складывается квадрат площади 3.
Н.И. Авилов (ст. Егорлыкская Ростовской обл.)
ЗАДАЧА 5194.
Для некоторого квадратного трехчлена /(#) и трех различных чисел а, 6, с выполнены равенства
Да) = 6с, Д6) = ас, /(с) = ab. Найдите значение Да + b + с).
И.И. Воронович (Минск, Белоруссия)
ЗАДАЧА 5195.
В треугольник ABC вписана окружность со. Проведите к со касательную, на которой стороны угла АБС высекают отрезок, делящийся отрезком ВС пополам.
Я.С. Константиновский
(Гомель, Белоруссия)
ЗАДАЧА 5196.
Числа а, 6, с, а также
а
и
6 + с' а + с а + Ь натуральные. Докажите, что а, 6 и с имеют общий делитель, больший 1.
СЛ. Берлов (С.-Петербург)
ЗАДАЧА 5197.
Докажите, что для любых положительных чисел av а2, ап, bv b2, bn справедливо неравенство
g1+a2+... + gn | <
3-
H.H. Петров
(Ижевск)
74
Математика в школе 5 / 2011
Решения задач, помещенных в № 10 за 2010 г.
ЗАДАЧА 5162.
В летней школе мальчики и девочки живут в двух- и трехместных номерах (как мальчики, так и девочки занимают много и двух-, и трехместных номеров). Свободных мест нет. Посреди смены уехал мальчик, живший в трехместном номере, а приехала новая девочка. Какое наименьшее количество школьников придется переселить, чтобы поселить эту девочку в двухместный номер?
Ответ: 5.
Решение. Заметим, что четность числа трехместных номеров, занимаемых девочками, совпадает с четностью числа всех девочек в школе. Поэтому приезд одной девочки повлечет необходимость полной замены жильцов в одном из трехместных номеров. А поскольку трое вселяемых в такой номер и двое или трое покидающих его войдут в число всех переселяемых, то последних окажется не меньше 5.
Покажем, как ограничиться переселением 5 школьников. Пусть соседи уехавшего мальчика поменяются местами с девочками из двухместного номера, и к этим двум девочкам присоединится третья, которая в другом двухместном номере освободит место для приехавшей.
ЗАДАЧА 5163,
Найдите множество значений выражения
(а + Ь-с)2 | (Ь + с-а)2 | (с + а-6)2
(а-с)(6-с) (6-а)(с-а) (с-6)(а-6)
для всех наборов различных действительных чисел (а, Ь, с).
Ответ: {4}.
Решение. Положив в = (а + ^——— +
(а - с)(Ь - с)
(b + c-af (c + a-bf п 2 .
+ —-—+ —-— и Р = az +
(Ь-а)(с-а) (с-Ь)(а-Ь)
+ Ь2 + с2 - 2(ab + Ьс + са), будем иметь (a + b-c)2 = P+4ab, (b + с - а)2 = Р + 4bc,
(с + а - b) - Р + 4са и S =-+
(а-с)(Ь-с)
Р + 46с Р + 4са . D
+-----+ -——-— = PQ + 4R,
(Ь-а)(с-а) (с-Ь)(а-Ь)
где Q =
R =
1 1 1
¦ +-+ -
(a-c)(b-c) (b-a)(c-a) (c-b)(a-b)
ab bc ca
-+-+-.
(a-c)(b-c) (b-a)(c-a) (c-b)(a-b)
А поскольку
Q =
l l l
-+-+-
(a-c)(b-c) (b-a)(c-a) (c-b)(a-b) _(a-b) + (b-c)-(a-c)
R =
(a-b)(b-c)(a-c) ab bc
= 0,
ca
(a - c)(b - c) (b - a)(c - а) (c - b)(a - b) ab(a - b) + bc(b - с) - ac(a - c)
(a-b)(b- -c)(a- -c)
(a2-c2)b-(a- c)b2- - ac(a - -c)
(a-b)(b- -c)(a- -c)
(a + c)b -b2 -ac (a- b)(b- c)
(a-b)(b-c) (a- ¦b)(b- c)
a-o)(o-c) ly то S = P0 + 41 = 4.
ЗАДАЧА 5164.
В неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AAV BBV ССХ и медианы АА2, ВВ2, СС2. Докажите, что из отрезков АгА2, ВХВ2 и СХС2 можно сложить треугольник. Решение. Углы А, В и С треугольника ABC обозначим через a, ? и у соответственно, а радиус его описанной окружности - через A. Тогда
Задачи
75
АгА2 = \АХВ- А2В\ =
AB cos ?—ВС 2
= 12Asinycos? - Asina | = = R12 sinycos? - sin(? + у) I = = RI sin(? - y) I и, аналогично, ?1?2 = A|sin(y-a)|, СХС2 = A|sin(a-?)|. Ввиду соотношений |sin(?-y)| = | sin((? - a) - (у - a)) | = = I sin(? - a)cos(y - a) - cos(? - a)sin(y - a) | < < I sin(a - ?) I • I cos(y - a) | + + I sin(y - a) I • I cos(a - ?) | имеем AXA2 < ВгВ2-\cos(a-$)\ | C^-lcos^-a)!
RR R
а поскольку треугольник ABC неравнобедренный (a Ф ?, у Ф a, то есть | cos(a - ?) | < 1 и | cos(y - a) | < 1), то выполняется строгое неравенство АХА2 < ВХВ2 + СгС2. Точно так же устанавливаются неравенства ВгВ2 < АгА2 + СгС2 и СгС2 < АХА2 + ВХВ2.
ЗАДАЧА 5165.
Пусть сог - окружность радиуса тх с центром Ov со2 ~ окружность радиуса г2 с центром 02, С - точка делящая отрезок Ох02 в отношении ОхС : С02 = г1 : г2. Окружность со3 касается сог вн^ренним образом в точке А и со2 внешним образом в точке В. Докажите, что прямая AB проходит через точку С. Решение. Будем считать, что А * В (в противном случае точки А, В и С совпадают). Обозначив через 03 центр окружности со3, заметим, что 03 е [OjA], В е [02 03] и
