Математика в школе - Бунимович Е.
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Ответ: 0,5625.
Решение. Пусть площадь основания пирамиды равна в, а длина высоты - Н. Тогда легко понять, что площадь основа-
ния призмы будет в = —, а ее высота -
4
3
К = — Я. Поэтому отношение объемов 4
ей 9
v
V
-SH 3
16
2.3. Ответ: 10.
Олимпиады
59
Решение. Посчитаем, сколько существует различных кубиков. Для этого разобьем все кубики на семь типов в зависимости от количества черных и белых граней:
Черные Белые Количество кубиков
0 6 1
1 5 1
2 4 2 (одинаковые грани либо противоположные, либо соседние)
3 3 2 (одинаковые грани либо у одной вершины, либо расположении буквой П)
4 2 2 (одинаковые грани либо противоположные, либо соседние)
5 1 1
6 0 1
Итого десять различных кубиков.
2.4. Ответ: Д = 40.
Решение. Пусть 019 02, 03, О -центры исходных окружностей. Тогда ООг = 002 = Д - 15, 003 = Д - 24, где Д - искомый радиус. Ясно, что точка О лежит на высоте 03Н треугольника ОхОзОд. По теореме Пифагора для треугольника С^ОдЯ
03Я = 7з92-1б2 = 36. Запишем теперь теорему Пифагора для треугольника ОхОН
(Д - 1б)2 = 1б2 + (60 - Д)2, откуда 90Д = 3600, или Д = 40.
2.5. Ответ: а = -1; Ь = 3. Решение. Перенесем все в левую
часть равенства
х4 + 4х3 - 8х + 4 = 0. Заметим, что если добавить и вычесть 4Х2, то выражение можно будет легко разложить на множители
х4 + 4х3 + 4Х2 - 4Х2 - 8х + 4 = = (х2 + 2х)2 - 2 • 2(** + 2) + 22 = = (х2 + 2х - 2)2.
Таким образом, корнями исходного уравнения являются -1 ± >/з. А, значит, наибольший равен -1 +
Я.
3.1. Ответ: Д2 = 2,5.
Решение. Запишем терему Пифагора для треугольников О^В, ОСА и ОЕА (рис. 4):
х2+1 = д2 (х+1)2+1 = 0А2=Д2+4.
4 4
Отсюда имеем я2 + — = (х +1)2 + — - 4,
4 4
то есть 2х = 3. В итоге получаем, что
2.
Д2 =
3.2. Ответ: 4901
.1-^-2,5.
4 4
Решение. Обозначим х-50
а =
*-49 50 '
Ь = —. Тогда уравнение примет вид
и 1 1
а + Ь = — +—. а о
Домножив обе части на аЬ, перенеся все слагаемые в одну часть и разложив на множители, получим
(а + Ъ)(аЪ - 1) = 0, откуда следует, что либо а + Ъ = 0, либо аб = 1. Подставляя выражения для а и
60
Математика в школе 5/2011
Ь, получаем в первом случае х =
4901
99 :
а во втором случае х = 99.
3.3. Ответ: 54.
Решение. Если (k + 1)-й список такой же, как fe-й, то списки с номерами k + 2,
11, 12 тоже будут точно такими же. Но по условию 11-й список и 12-й разные. Следовательно, у каждого участника k-й список содержит ровно k человек. В частности, 2-й список содержит ровно двух человек. Это означает, что каждый участник выиграл ровно одну партию. Поэтому
1211 ю кл число ничьих равно —---12 = 54.
3.4. Ответ: 2010.
Решение. Пусть получилось iV треугольников. Тогда сумма углов всех треугольников равна N180°. С другой стороны, сумма углов всех треугольников складывается из суммы углов десятиугольника и 1001 раз по 360° - суммы углов при каждой из точек. Итого получается 8 • 180° + 1001 • 360° = 2010 • 180°.
Значит, N = 2010. 3.5. Ответ: п = 2001.
Решение. Обозначим а„ =
п
п 1,001"'
Найдем отношение соседних членов последовательности:
ап+1= 1,001» ¦ (м + 1)2 =
ап 1,001Л+1-п2
1000 п2+2п + 1 ~1001' п2 Сравним это отношение с единицей:
а
> 1 о 1000(п2 + 2п + 1) > 1001п2 о
<=> 2000м + 1000 > п2.
То есть п(п - 2000) < 1000. Что, очевидно, выполняется при п < 2000 и не имеет места при остальных п. Это означает, что
а1 < а2 < ... < о2000 < а2оо1 >
> ° 2002 > а 2003 > *••
Поэтому наибольшее значение ап при п = 2001.
Олимпиада «Физтех-2011»
Дистанционной этап олимпиады «Физтех-2011» проводился для 9-11 классов с 13 декабря 2010 года по 26 января 2011 года. В нем приняли участие около 7000 школьников.
Олимпиада проходила на двух сайтах: http://fizteh2011.ru (при поддержке Центра дистанционного обучения МФТИ «100ege.ru») и http://matholymp.ru (при поддержке компании Яндекс).
На математической части олимпиады школьникам было предложено по 20 задач для 9 и 10 класса и 30 задач для 11 класса. В каждом классе задачи начинались с простейших упражнений, а заканчивались довольно сложными содержательными задачами. Каждая задача
имела до 10 различных вариантов (отличающихся друг от друга набором численных параметров задачи).
Здесь представлено по одному варианту каждой из задач для 9 класса.
9 класс Условия задач
9.1. Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел 40% всего запаса меда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь 300 грамм меда. За следующий час Винни-Пух съел 80% от оставшегося меда, а Пятачок и Кролик съели 100 грамм меда на двоих. В итоге у Кролика осталось 800 грамм меда. Сколько килограммов меда было у Кролика до визита Винни-Пуха?
Олимпиады
61
9.2. Стрелок сделал 30 выстрелов в мишень. За первое попадание ему начислили 13 баллов, а за каждое следующее попадание начисляли на 0,9 балла больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал 215,4 балла?
9.3. Найдите положительное число р такое, что прямая у = 4х + р и координатные оси образуют треугольник, площадь которого равна 72.
