Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бунимович Е. -> "Математика в школе" -> 26

Математика в школе - Бунимович Е.

Бунимович Е. Математика в школе — М.: Школьная пресса, 2011. — 84 c.
Скачать (прямая ссылка): mathvshkole2011.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 37 >> Следующая

3.4. Внутри выпуклого десятиугольника отмечена 1001 точка. Каждая из них и каждая вершина десятиугольника являются вершинами треугольников, на которые разрезали исходный десятиугольник. Сколько получилось треугольников?
3.5. При каком натуральном п выра-
жение
п
1,00Г значение?
принимает наибольшее
Ответы и решения
1.1. Ответ: S= 3.
Решение. Из теоремы синусов для треугольников ADC и АЕС имеем
CD = АР СЕ = АЕ
sin ZA sin ZA CD' sinZA sin ZACE'
С
Отсюда получаем
CD - sin Z30° CE • sin Z120°
AD AE
Поэтому CE = \JSCD. Значит, треугольник DEC прямоугольный (ZACE --ZACD = 90°), с углами 30° и 60°.
Высота СН треугольника ABC является также и высотой треугольника CDE, поэтому
J4
СН = СЕ- sin 30° = DE • cos30° • sin 30° = —.
2
Таким образом, площадь
2 2
1.2. Ответ: х = 3.
Решение. Первое решение. Пусть пара (х; у) удовлетворяет обоим равенствам. Вычитая из удвоенного первого второе, получим
2х? + ху-у2 + х+у = 0,
Олимпиады
57
Но
2Х2 + ху-у2 + х + у = = (2х-у)(х + у) + (х + у) = = (2х-у + 1)(х + у), Значит, либо у = 2х + 1, либо у = -х. В первом случае из первого равенства получаем
х2 + х(2х + 1) + 2х + (2х + 1) = 3, то есть уравнение Зх2 + 5х - 2 = 0, которое
имеет корни х1 = -2, х2 = —.
3
Во втором случае, подставляя у = -х в первое равенство, получаем х = 3. Значит, наибольшее подходящее значение х = 3.
Второе решение. Рассмотрим второе равенство как квадратное уравнение относительно у:
у2 + (х + \)у + Зх - 6 = 0.
Его дискриминант ?) = (х +1)2 - 4(3х- 6) =
= х2 - 10х + 25 = (х - 5)2. Откуда получаем
-(х +1) + (х - 5) 0 -
два случая: у =-= -3 либо
2
-(* + 1)-(*-5) 0 v = —--—--- -2-х.
' 2
Подставляя найденное выражение у
в первое уравнение, получаем в первом
случае х2 - х - 6 = 0, то есть х = -2 или
х = 3. А во втором случае
х2 + х(2 - х) + 2х + (2 - х) = 3,
1
то есть х = —.
3
Значит, наибольшее значение х = 3.
1.3. Ответ: а = 4; ЛГ= 144.
Решение. Так как ЛГ является квадратом натурального числа, то оно может оканчиваться лишь цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9. А это значит, что Ыа оканчивается: 00, 11, 44, 55, 66 или 99. Но квадрат при делении на четыре может давать только остатки 0 или 1, поэтому остаются лишь два варианта - 00 и 44. Первый из них отпадает, т.к. квадрат должен заканчиваться на четное количество
нулей, а ЛГа имел бы на конце на один нуль больше, чем Ы, значит, в одном из них было бы нечетное число нулей.
Остается единственный случай а = 4. И так как 44 и 644 не квадраты, то минимальное ЛГ равно 144 (1444 = 382).
1.4. Ответ: Я2 = 6.
Решение. Пусть А19 В19 Сх - точки касания сферы с боковыми гранями пирамиды, лежащие на сторонах АВ, ВС, СА соответственно (рис. 2). Тогда они являются точками касания вписанной окружности со в треугольник основания. Пусть О - центр данной сферы, тогда треугольники АхОД ВхОВ и СгОВ равны как прямоугольные с общей гипотенузой и равными катетами ОАх, ОВх и ОСх (т.к. каждый из них является радиусом сферы). Поэтому АХБ = В^ = С^.
Рис. 2
Пусть DM — высота пирамиды. Тогда прямоугольные треугольники AXDM, BXDM и CXDM равны по общему катету и равным гипотенузам. Поэтому АХМ = ВгМ = СгМ, то есть М является центром окружности со. Аналогично, перпендикуляр из точки О на плоскость ABC попадает в точку М.
58
Математика в школе 5 / 2011
Рассмотрим прямоугольный треугольник AxOD (рис. 3). В нем АХМ является высотой, поэтому треугольники ОМА1
и A.MD подобны. Откуда = А^М
1 У DAI DM
Пусть ОАг = R, МАХ - г, DAX - h, тогда
R = ±.
5
Рис. 3
Площадь треугольника ABC, с одной стороны, можно вычислить по формуле Герона
S = Vl25-43=12V5, а с другой стороны, по формуле S = рг, где р - полупериметр треугольника ABC.
Значит, г = — = л/б. Р
Далее, DAX найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
AXDM: /1 = А1Я = л/25 + 5=7зО. Поэтому R = = 7б. 1.5. Ответ: 228.
Решение. Обозначим через хп количество всевозможных (в том числе состоящих менее чем из трех элементов) подмножеств набора 1, 2, п, не содержащих трех последовательных чисел. Заметим, что для последовательности хп справедлива следующая рекуррентная формула:
хп ~ хп-1 + хп-2 + хп-3-
Действительно, каждая подходящая выборка из п элементов либо не содержит число п (таких подмножеств хп_^), либо содержит п, но не содержит п - 1 (таких - хп_2)9 либо содержит и п, и п - 1 (и таких подмножеств хп_3, т.к. элемент п - 2 выбирать уже нельзя).
Для маленьких п легко вычислить хп: хг = 2, х2- 4, х3 = 7. А далее по формуле:
х4 = 7 + 4 + 2 = 13,
х5 = 13 + 7 + 4 = 24,
х6 = 24 + 13 + 7 = 44,
х7 = 44 + 24+13 = 81,
х8 = 81+44 + 24 = 149,
х9 = 149 + 81 + 44 = 274. Осталось лишь заметить, что в х9 подсчитаны лишние нуль-элементные подмножества (одно), одноэлементные (де-
9*8
вять) и двухэлементные (-= 36 штук).
2
В итоге получаем ответ:
274 - 1 - 9 - 36 = 228.
2.1. Ответ: 8.
Решение. Вычислим первые несколько членов последовательности: 7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5,...
Так как пятерка повторилась, значит, далее элементы последовательности будут повторяться с периодом три. Поэтому восьмерка будет стоять на шестом, девятом, 12-м, 2010-м местах.
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed