Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
7.7. Дальнейшее развитие оценок спектра второго порядка
Начнем этот параграф исследованием асимптотического распределения состоятельной оценки матрицы спектральной плотности fxx (X), построенной по сглаженным данным г-мерногсґ ряда Х(*),. * = 0, ±1, ..., с функцией среднего значения с^. Пусть функция сглаживания ha(u), —oo<w<oo, удовлетворяет условию 4.3.1 для a= I9 г. Будем анализировать набор сглаженных значений ha (t/T) Ха (/), t = 0, ±1, ... . Предположим, что функция среднего для a= I9 .... г оценивается выражением
Пусть при —оо<Х<оо, a= I9 г,
4r,W = Sfte(7)x«WexPb'"}' (77-2)
Наша оценка для fxx(k) будет основана на преобразовании Фурье сглаженных значений, из которых вычитаются средние, а именно на
4"V)W = IX (г) [Ха«)-с?>]ехр{-Ш}
~»Т (0)
4r>W~—L0I!*' (7-7.3)
где для а = 1, ..., г
ШТ) (Я) = ? К (f ) ехр {-Ш}. (7.7.4)
Следуя обсуждению, приведенному в § 7.2,' образуем периодограммы второго порядка
7?-c<r> к _ст(Х)={2яН&>(0)}-Ы<т> (T)(X)dx (r>W, (7.7.5)
Ла са ' Ь Ь Ла са ЛЬ СЪ
где
T J b \ Т
Из (7.7.3) следует, что (7.7.5) можно переписать в виде
(2л)-1 S ехр {- ita} с?} (и), (7.7.7)
где
с% {и) = н$ (0)- ? ha (^)\ (f) (/+и)
' ' х[хь(о-4гТ (7-7-8)
является оценкой кросс-ковариационной функции са& (w).
Пусть весовая функция Wab (а), —оо < а < оо, а, Ь = 1, ..., г,
удовлетворяет условию ^ №Л&(а)йа = 1. В данном случае, включающем произвольные функции сглаживания, мы не видим никаких преимуществ от осреднения периодограммы по частным значениям частот 2ns/T, S = O9 ±1, ... . Поэтому рассмотрим оценку, включающую непрерывную весовую функцию
qo
S ВГЇ>Фаь(Вг№-*])ІФдт, х _e(D(a)da, (7.7.9)
_оо • а а ' b b
где a, 6 = 1, ..., г, а величины 5Г, T = 1, 2, ..., положительны и ограничены. Используя (7.7.7), можно выражение (7.7.9) переписать в виде
faV (X) = (2л)-1(S2*) с<?> (и) ехр {- ІХи), (7.7.10)
где
cd
wab{u)= \ Wab (а) ехр {iua} da, —оо<^<оо. (7.7.11)
— oo
Мы будем считать, что для этой функции выполняется
Условие 7.7.1. Действительная функция w(u), —оо < и < оо, ограничена, симметрична, w (0) = 1 и
J\w(u)\du < оо, ^\u\\w(u)\du<oo. • (7.7.12)
Как следует из упр. 3.10.7, оценку (7.7.10) можно вычислить, используя быстрое преобразование Фурье. Справедлива
Теорема 7.7.1. Пусть r-мерный ряд X(t), / = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.2(/), функция ha (и), —оо < и < оо, удовлетворяет условию 4.3.1 для a= I9 г и, кроме того,
^ha(u)hb(u)du=^=0. Предположим, чтотаЪ(и), —оо < и < оо,
удовлетворяет условию 7.7.1 для а, 6=1, ..., г и ВТТ—+оо при Т^+оо. Тогда справедливы соотношения
EfJb' (Ц = I Wab (a) fab (X-B1*) da+ О (BfT-)
= (2л)"1 ?>ab (B1U) саЪ (и) ехр {- IXu] + О (Bf T-)
(7.7.13)
и
lim B1T cov {/Sw, /S2 .
= 2я J Aet (0 hbl (t) dt) _1 { J fte, (t) hbt (t) dt) _ї
X S Ae, (t)К%(O A,, (O hbt (t)dt [T1 {Я—ц) /віві (Я) fM, (- Я,)
+ + /вА (Я.) /Ма (- Щ J Га]Ь, (а) Гал (а) da, (7.7.14)
причем переменные [аТХ(Юу •••» /1?.(?ч) асимптотически нормальны с приведенной выше ковариационной структурой.
Сравнение выражений (7.7.14) и (7.4.17) показывает, что асимптотически сглаживание приводит к появлению в выражении для предела дисперсии множителя
\ hax(t)ha%(t)hbl(t)hbl(t)dt
J---------- (7.7.15)
(j Kx (t) hbl (t) tf) (j Лві(0 dt)'
Этот множитель равен 1 в случае отсутствия сглаживания, т. е. ha(t)=\ для 0^/<1 и ha(t) = 0 для других t. Если используется одна и та же функция для всех рядов, т. е. ha(t)^h(t)9 а=1, г, множитель равен
j h(t)4dt {j /і(02 dt}''
(7.7.16)
Из неравенства Шварца следует, что этот множитель всегда больше или равен 1, так что использование сглаживания приводит к увеличению предела дисперсии. Можно надеяться, однако, что произойдет достаточное уменьшение смещения и оно будет компенсировать увеличение дисперсии. Справедливо
Следствие 7.7.1. Если соблюдаются условия теоремы 7.7.1 и B7—+0 при T —> оо, то оценка является асимптотически несмещенной.
Исторически первая широко используемая оценка кросс-спектра имела вид (7.7.10) [Goodman (1957), Rosenblatt (1959)], хотя сглаживание, как правило, не использовалось. Ее асимптотические свойства совпадали в основном со свойствами §.7.4. Такое исследование провели Akaike, Yamanouchi (1962), Jenkins (1963а), Murthy (1963) и Granger (1964). Freiberger (1963) рассматривал приближения к этому распределению в случае двумер-нйго гауссового ряда.
Обсуждение § 7.1 предлагает иной класс оценок спектра второго порядка fab (X). Пусть ряд Ya(t) есть результат прохождения ряда Xa(t) через полосно-пропускающий фильтр с передаточной функцией А (а) = 1 при | а ± А, | < А и А (а) = 0 в противном случае; — я<а, X^ п. Рассмотрим в качестве оценки для
' (4ДТ)-*2 Ya (t)Yb (О, (4ДГ)-1 2XWn(O". (7-7.17)
или среднее этих двух оценок. Для lmfab(X) рассмотрим оценки (4AT)-I %Ya(t)HYb(t), -(4bT)-iT±lYaYb(t)« (7.7.18)
или среднее этих двух оценок. Такая процедура оцениваний позволяет нам провести исследование структуры ряда на медленную эволюцию во времени [Brillinger. Hatanaka (1969)]. Этот тип оценок рассматривали Blanc-Lapierre, Fortet (1953). Одним из способов преобразования рассматриваемых рядов является комплексная демодуляция; см. § 2.7 и Brillinger (1964b).
