Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 7.6.2. При соблюдении условий теоремы 7.6.2 выполняются соотношения
ave I RaV (k) |2 = I Rlb (к) I2 +О (B7) + О (Bf1T^)1 (7.6.17)
COV {| RaV (к) I2, I RaV ((X) I2} = [Ц {к - (l} + T1 {к + (X}] I Rab (к) I2
X [1 -| Rab (*) I2]2 4я 5 Г И2 daW-1 + О (В-Т*Т-*), (7.6.18)
и для заданного J переменные R$ (X1), ... , RaV (A7) имеют асимптотически совместное нормальное распределение с ковариационной структурой, задаваемой формулой (7.6.18), для l^a<b^r. *
Дальнейшие вопросы, связанные с асимптотическим распределением величины I RaV (k) I2, будут обсуждаться в § 8.5, построение приближенных доверительных интервалов для j Rab (к) | будет проведена в § 8.9.
Введем пространство D[O, я] непрерывных справа функций, имеющих левосторонние пределы. В этом пространстве можно так ввести метрику, что оно будет полным и сепарабельным [Billingsley (1968, гл. 3)]. Пусть пространство D^[O, я] есть пространство гх r-матричных функций, элементы которых являются комплексными функциями, непрерывными справа и имеющими левосторонние пределы. Это пространство изоморфно D2r2[0, я] и метри-зуемо так, что оно будет полным и сепарабельным. Пусть задана последовательность вероятностных мер P7, T= 1,' 2, ... , на пространстве Drcxr[0, я]; тогда будем говорить, что эта последовательность слабо сходится к вероятностной мере P на Drcxr[0, я], если
при T —+ оо для всех действительных ограниченных непрерывных функций h из D^[O, я]. Если в этой ситуации P7 определяется случайным элементом Хг, а Р — элементом X, будем говорить, что последовательность X7, T=I, 2, ... , сходится по распределению к X/
Случайная функция F1Px(K)9 очевидно, принадлежит пространству Drcxr[0, я] так же, как и функция VT[F1Px №)-Fxx(k)]. Справедлива
Теорема 7.6.3. Пусть r-мерный ряд X (/), /=0, ±1, ... , удовлетворяет условию 2.6.2(/). Предположим, что оценка F(Px(k) задана формулой (7.6.8). Тогда последовательность процессов {VT [Fpx (k) — Fxx (к)]; О < к ^ я} сходится по распределению к г х r-матричному гауссовскому процессу {Y (X); О ^ k ^ я} со сред-
(7.6.19)
ним О и
, min (К, |и)
cov { Yaibi (X), Yaibi (ц) = 2я S faiai (а) /4 А (-a) da V о
% ILl
+ 231 И U.«A («. -а> -Р)**Ф. (7.6.20)
О о
О X, |х ^ я w а19 а2, bl9 Ь2 = 1, ... , г.
Используя результаты гл. 4 книги Cramer, Leadbetter (1967), можно показать, что выборочная траектория предельного процесса {Y(X); X^ я} непрерывна с вероятностью 1. В случае когда ряд X(t) гауссовский, спектры четвертого порядка обращаются в 0 и ковариационная функция (7.6.20) упрощается. В этом случае, положив Аг (а) = 1 при (X1 ^а^X1 и А2(а) = \ при [х2<а<Х2 и приняв обе равными нулю в остальных случаях, из (7.6.7) получим для (X1 ^ X1 ^ (X2 ^JC X2
cov {Yatbi (K)-Ya1^ (Hi), У«А (К) -Yaib2 ((X2)} = 0. (7.6.21)
Таким образом, предельный процесс будет гауссовским с независимыми приращениями.
Основным следствием теоремы 7.6.3 является такой факт: если множество точек разрыва функции h на D?xr[0, я] имеет вероятность О относительно процесса {Y (X); О ^ X ^ я}, то h (VT[F(Px (•) —Fxx(-)]) сходится по распределению к ft(Y(-)) [Billingsley (1968)]. Используемая выше метрика в D?Xr[0, я] часто бывает неудобна. Если, однако, рассмотренный в теореме предельный процесс непрерывен, то согласно результату М. L. Straf из непрерывности h в метрике
2sup I Yab(X)\ (7.6.22),
a,b А,
и измеримости случайной функции h{VT[F(xx(') — сле-
дует сходимость по распределению h к /i(Y(-)). Так, например,
VT sup \F?>(k)-Faa(k)\ (7.6.23)
о < а, < я
сходится по распределению к
sup \Уаа(Щ, (7.6.24)
о < а, < я
где Yabfi) — гауссовский процесс со средним О и
min (Я, |и)
о
% |LA
• +2n5S/eaae(a.-a.—Р)^Ф
о о
для 0 < X, (X < я, а = 1, ... , г. (7.6.25)
Рассматриваемая в теореме оценка имеет то неудобство, что она разрывна и тогда, когда соответствующие теоретические величины непрерывны и даже дифференцируемы. К непрерывной оценке приводит
к
\hHc<Px-c<pWda' (7-6-26)
О Л Л
Можно показать, что процесс
Vf j j iT-c И da - F** (*>} (7'6'27)
сходится по распределению к гауссовскому процессу со средним О и ковариационной функцией (7.6.20).
Если г=1 и ряд X(t), t = 0, ±1, ... , является линейным процессом со средним 0, то, как показали Grenander, Rosenblatt (1957), имеет место слабая сходимость процесса
Vt{ J lTx(*)da-Fxx(X)y (7.6.28)
Они рассматривали также слабую сходимость процесса
Vt{ j П\ (a) da-fa(X)}, (7.6.29)
гДе fnW~0I^eHKa спектральной плотности с использованием весовой функции. Случай гауссовских процессов со средним 0 и интегрируемой с квадратом спектральной плотности рассматривали Ибрагимов (1963) и Малевич (1964, 1965). MacNeil (1971) изучал двумерные гауссовские процессы со средним 0. Brillinger (1969с) рассматривал случай r-мерных процессов со средним 0, удовлетворяющих условию 2.6.2(/), и доказал сходимость в тонкой топологии. Clevenson (1970) занимался слабой сходимостью непрерывных процессов, рассматриваемых в теореме в случае гауссовских рядов с нулевым средним.
