Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
EGf (X) = I ЕЛ<Г> (X) \ +О (Bt1/2T-V* )
= G/(X) + 0tBT) + 0(Bf1/iT-^), (6.5.19)
причем, если А}(Х)Ф0, то
E log Gf (X) = log I ЕЛ<Г> (X) I + О (Br1T"1)
- log Gj (X) + О (ВТ) + О (T-1/*) + О (Bf1T-1), (6.5.20)
E<frf (X) = arg А)т> (X) + О (Bf1T-1)
= Ф/ (X) + О (B7) + 0(Т~1^) + 0 (Bf1T'1). (6.5.21)
(В этой теореме E обозначает математическое ожидание, получаемое в виде члена разложения Тейлора, см. Brillinger, Tukey (1964).)
Следствие 6.5.2. Если выполнены условия теоремы 6.5.2 и ?г--*0, В7Т—+оо при T—>oo, mo G}-r>(X) является асимптотически несмещенной оценкой Gy(X).
Что касается нашей оценки ^6P(X) спектра ошибок, то мы имеем следующую теорему.
Теорема 6.5.3. Если выполняются предположения теоремы 6.5.1, то
Ы1]W = U(*) + О(Вт) + О(Br1T^) + О(T-I/*). (6.5.22)
Полезно сравнить этот результат с выражением (5.8.22) в случае P = 1. В пределе мы получим
Следствие 6.5.3. Если выполнены условия теоремы 6.5.3 и B7 —>0, B7T —> оо при T-+ оо, то giP(X) является асимптотически несмещенной оценкой /ЄБ (X).
Для случая |л(Г) мы -можем доказать'следующую теорему.
Теорема 6.5.4. В условиях теоремы 6.5.1
Е^> = \i + 0 (ВТ) + О (T-1/2). (6.5.23)
Из теоремы 6.5.4 вытекает
Следствие 6.5.4. Если выполнены предположения теоремы 6.5.1 w Вг-—>O при T —^ оо, то |л(Г) является асимптотически несмещенной оценкой \i.
6.6. Асимптотические ковариации предложенных оценок
Чтобы оценивать точность наших оценок, необходимо знать вид их моментов второго порядка. Статистика, которая при этом появляется, определяется выражением
'2л \-1
*=2яТ-1
(6.6.1)
Эта статистика имеет такой же вид, как и f(xx(X) в выражении (6.5.5), за исключением того, что входящая туда весовая функция W (а) заменена здесь на W (а)2. Обычно последняя более сконцентрированная однако в том случае, когда W (a) = (2^)-1, Для |а|^я имеем
ЬЙ (X) = fft(*).. (6.6.2)
В некоторых случаях мы будем находить оправданным аппроксимацию h(/?(X) функцией f(xx(X). Это дает преимущество сокра* Щения необходимого объема вычислений. Заметим, что если ^x(X) ограничена, то то же самое справедливо и для hxx(X). Мы можем теперь установить следующий результат.
Теорема 6.6.1. Предположим, что e(t)9 f = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет среднее 0. Пусть X(t)9 / = 0, ± 1, ..., удовлетворяет условию 6.5.2. Пусть Y (t)$ t = 0$ ± 1»• • • ..., задается выражением (6.1.1) с таким {а (и)}, что 21 и 11 а (и) I < оо^ Пусть W (а) удовлетворяет условию 6,5.1. Если Вг—*О при T—> оо, то
cov{A<r>(X)*, А<Г)(^}
= f»(X)~* |(2яГ-*)? ?г(г>(я—и?<г> (и—
= г, {X-^} Bf1T-^J Г
+ 0(7-?). (6.6.3)
В том случае, когда выполнено (6.6.2), второе уравнение в (6.6.3) имеет вид
Л {X - [і} Bf1T-HTx (X)-Vb8 (X) 2я J W (a? da +О {Т-*)9 (6.6.4)
которое можно оценить с помощью
г) {X-ji} Bf1T-HTx (X)-1^P (X)2я J W (a)2da. (6.6.5)
Из выражения (6.6.3) мы видим, что дисперсия А(Г)(Х) асимптотически имеет порядок Bf1T-1, так что справедливо
Следствие 6.6.1. Если выполнены условия теоремы и B7T—+оо при T-+оо, то А(Л(Х) является состоятельной оценкой A(X).
Заметим также, что из (6.6.3) следует асимптотическая некоррелированность А(Л (X) и А(Л (\i) для X ф [і (mod 2я).
На практике мы имеем дело с действительными статистиками. Асимптотическая ковариационная структура ReA(r)(X), 1тА(Г)(Х) приводится в упр. 6.14.22. С другой стороны, мы можем пользоваться статистиками G}r>(X), Ф}Г)(Х) и поэтому сейчас изучим их асимптотические ковариации. Определим 1FJP (X) как элемент, стоящий- в /-й строке и в А-м столбце матрицы
ЧГ™ (X) = ГРХ (X)-Hi» (X) f Й (X)-K
(6.6.6)
Теорема 6.6.2. Если выполнены условия теоремы b.QЛ и Aj(K)9 АЛ(р)?*0, то
coy {InGp(K)1 lnGir>(|i)}
= Sr1T-1 [T1 {К- ^} + т, {X + я (се)* da/ee (X)
X Re {Aj (X)-1^P (X) Лл (X)-1} + 0(T-1), (6.6.7)
cov {In Gp (X), (И)} = О (T-1), (6.6.8) cov{*f>(X), ф]^)}
= Br1T-1 [т| {X- Ji} - т) {X + я J № (a)2 dafee (X)
X Re {Aj (X)-1^P (X) Л^Г1} + О (T-1) (6.6.9)
Зля /, 1, ..., г.
Заметим, что асимптотическая ковариационная структура log GJ-r>(X), такая же, как и Ф/Г)(^)» за исключением случая X = 0 (mod я). Мы можем построить оценки ковариации в теореме 6.6.2, заменив неизвестные Aj (X) и fEe(K) их оценками. Заметим, что log Gp (X) и ФР ((Ji) асимптотически некоррелированны для всех /, k и X, \1.
Что касается gel\(K), то верна
Теорема 6.6.3. В условиях теоремы 6.6.1
= Br1T-1 [T) {А, - ц} + ті {I + 2я J № (a)2 da/e6 (Ь)а
+ 0{7-4 + 0(Bt1T-?). (6.6.10)
Переходя к пределу, получим
Следствие 6.6.3. Если выполняются условия теоремы 6.6.3 и ВТТ—>-оо при T —> оо, то
Hm Brrcov{g#(X), «?>(|i)}
=* 2я $W (а)?da[t1 {X-ц\ + t1 {І + \і}] fM(W (6•6.H)
и
Hm B7TD In g?> (A.) =2n[w (a)8 da [1 + t1 {2X}]. (6.6.12)
Г->QO
Выражения (6.6.11) и (6.6.12) можно сравнить с выражениями (5.6.12) и (5.6.15). Из этих предельных соотношений видно, что асимптотические свойства моментов второго порядка g{?}(h)* такие же, как у g$ (X),—-оценки спектра мощности, основанной только на значениях е(/), / = 0, Т—1.
