Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
где F — нецентральное F-распределение со степенями свободы 2г и- 2 (2т+ 1 —г) и параметром нецентральности А (К) ipx (^) X
Мы вернемся к обсуждению этой статистики в гл. 8. Обозначение оп.н. (1) введено для члена, стремящегося к 0 с вероятностью 1.
6.5. Математические ожидания оценок
передаточной функции и спектра ошибок
Вернемся снова к изучению средних значений оценок несколько более общего вида, чем в предыдущем параграфе. Допустим, что нас интересуют оценки параметров модели (6.1.1) сданными значениями X(o, Y (t), t = 0, Т — 1. Пусть 1? (X) задается выражением (6.3.8), аналогично которому определяются Iyy (X) и Ixx ft)- Мьі построим наши оценки с помощью этих статистик так же, как в (6.3.10); можно, однако, сделать наши оценки более гибкими введением для членов выражения (6.3.10) некоторых весов. Более точно, для весовой функции W (а) будем считать выполненным
Условие 6.5.1. Функция W (а), —оо<сс<оо, ограничена, четна, неотрицательна и равна нулю для |а|>я, причем
(6.4.12)
X А (^//ее
я
5 W(a)du=l.
(6.5.1)
-Я
Существенными ограничениями на введенную здесь функцию являются, кроме условий 5.6.1, условия неотрицательности и конечности функции.
Чтобы подчеркнуть тот факт, что весовая функция становится более сконцентрированной при возрастании объема выборки Г к оо, введем параметр эффективной ширины ВТ, зависящий от 7. Кроме того, периодически продолжим весовую функцию с той целью, чтобы наша оценка обладала необходимыми свойствами симметрии. Таким образом, мы определим функцию
W^(a) = B? S W (Втг[* + 2пі]). (6.5.2)
/=-00
Мы видим, что Wm (а) неотрицательна и
W(T) (сс + 2я) = W(T) (а), (6.5.3)
причем если B7 ¦—* 0 при Г—>оо, то для достаточно больших T
2л
J W^(a)da=l. (6.5.4)
о
Масса W{T) (а) концентрируется в интервале длины 2пВт с центром в точке, а = 0 (mod 2л;) при Т —*оо. Теперь определим
№ (*-) =2я7-і ? (а, -Щ Ypx , (6.5.5)
S=I ^ '
Г-1
Ш (*¦) = 2ЯТ-1 ? -^r) 1Yx (^-) , (6.5.6)
Г-1
ffi (Я.) = 2пТ-1 ? (Ь-Щ-) IW (-у2-) . (6.5.7)
S= 1 ^ \/t
В качестве оценок для.A(X)1 /Ее(^). ^ возьмем
А«п(Я,) = ї^(А.)^(Л)-1, (6.5.8)
«?' (Я.) = /(/у (Я.) - Ш W(*-)-1 f& (Я.) (6.5.9)
и
^1(D =С(Г,_ Д(Г) (0) сс/> (6.5.10)
соответственно. Если m велико, то определения (6.5.9) и (6.4.5) по существу совпадают.
Из ограничений на весовую функцию W (а) видно, что
А(г>(— Х) = А{Т)(к). (6.5.11)
Точно так же А{Т)(X) и g(ely (X) имеют период 2я и, кроме того, <т> (X) — неотрицательная функция, симметричная относительное Наконец, \іІТ) принимает действительные значения как величина, соответствующая изучаемому параметру \х.
В дальнейшем нам встретится статистика |/?ух (X) |а, задаваемая выражением
2{Т) (M
имеющим, как это видно, форму множественного коэффициента корреляции, ограниченного 0 и 1. Появляться эта статистика будет главным образом при вычислении дисперсий наших оценок.
Относительно последовательности фиксированных (в противоположность случайным) значений X(O мы введем одно важное
Условие 6.5.2. Значения X(O, / = 0, ±1, ограничены в совокупности, причем если ixx(ty задано выражением (6.5.5), то существует такое конечное К, что
№(*)!. №k(b);4<K (6.5.13)-
для всех X и достаточно больших Т.
Вернемся к изучению свойств Am (X) при больших выборках. Верна
Теорема 6.5.1. Пусть є (О, t = 0, ±/, удовлетворяет
условию 2.6.2(0, а X(O, / = 0, ±1, • ., удовлетворяет условию 6.5.2. Пусть Y(t), t = 0, ±1, задан выражением (6.1.1), в котором для {а (и)} выполнено условие 21и 11 а (и) | < оо. Пусть также W (а) удовлетворяет условию 6.5.1 и А{Т) (X) задается выражением (6.5.8). Тогда выполнено
(T-I
= А(Ь) + 0(ВТ) + 0(Т-*'*)9 (6.5.14)
где остаточные' члены равномерны по X.
Мы видим, что математическое ожидание А(Г) (X) является по существу (матричным) взвешенным средним функции А (а) с весом, сконцентрированным в окрестности точки X ширины 2пВТ. Поскольку это взвешенное среднее представляет собой матрицу, возникают трудности с различными элементами А (а). Если мы желаем уменьшить асимптотическое смещение, то должны пытаться расположить А (а) около константы в окрестности Л.
Веса в выражении (6.5Л4) зависят от Х(/), t — 0, Т—1.
Было бы выгодным сделать 1? (0O» насколько это возможно, близким к константе, так чтобы недиагональные элементы были близки к 0. Последнее выражение в (6.5.14) показывает, что главный член асимптотического смещения АТ (К) имеет порядок эффективной ширины B7. Мы имеем
Следствие 6.5.1. Если выполнены условия теоремы 6.5.1 и B7—+0 при T —>оо, то А(Г) (X) является асимптотически несмещенной оценкой A(X).
Обозначим элементы A (X) и А(Г) (X) соответственно как Aj (X) и Л}Г)(Х), /=1, г. Иногда мы будем интересоваться действительной амплитудой
G1(I) = IA1(X)] (6.5.15)
и действительной фазой
<MX) = arg4y(X). (6.5.16)
Они могут быть оценены с помощью
G?>(X) = \A?>(X)\ (6.5.17)
и
ф<г>(Ь) = аг§Л'г>(Ь). (6.5.18)
Теорема 6.5.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.5.1. Тогда
